Аннотация
Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение семейств траекторий гамильтоновых систем, по существу, сводится к задачам многомерной гидродинамики идеальной жидкости. В частности, известный метод Гамильтона — Якоби отвечает случаю потенциальных течений. Рассказано о некоторых приложениях такого подхода, в частности о вихревом методе точного интегрирования дифференциальных уравнений динамики.
Книга рассчитана на научных сотрудников и аспирантов, интересующихся математической физикой, механикой и дифференциальными уравнениями.
Содержание
Предисловие ко второму изданию
Введение
ГЛАВА I. Гидродинамика, геометрическая оптика и классическая механика
§ 1. Вихревые движения сплошной среды
§ 2. Точечные вихри на плоскости
§ 3. Системы лучей, законы отражения и преломления, теорема Малюса
§ 4. Принцип Ферма, канонические уравнения Гамильтона, оптико-механическая аналогия
§ 5. Гамильтонова форма уравнений динамики
§ 6. Действие в фазовом пространстве и инвариант Пуанкаре — Картана
§ 7. Метод Гамильтона — Якоби и принцип Гюйгенса
§ 8. Гидродинамика гамильтоновых систем
§ 9. Уравнения Ламба и проблема устойчивости
ГЛАВА II. Общая теория вихрей
§ 1. Уравнения Ламба и уравнения Гамильтона
§ 2. Сведение к автономному случаю
§ 3. Инвариантные формы объема
§ 4. Вихревые многообразия
§ 5. Уравнение Эйлера
§ 6. Вихри в диссипативных системах
§ 7. Сила Лоренца и ее обобщения
§ 8. Вихревая теория адиабатических равновесных процессов
§ 9. Инвариантные многообразия общего вида
§ 10. Вихревая теория кинетического момента
ГЛАВА III. Геодезические на группах Ли c левоинвариантной метрикой
§ 1. Уравнения Эйлера — Пуанкаре
§ 2. Вихревая теория волчка
§ 3. Мера Хаара
§ 4. Скобки Пуассона
§ 5. Функции Казимира и вихревые многообразия
§ 6. Динамика изменяемых систем на группах Ли
§ 7. Вихревая теория неголономных систем
ГЛАВА IV. Вихревой метод интегрирования уравнений Гамильтона
§ 1. Метод Гамильтона — Якоби и теорема Лиувилля о полной интегрируемости
§ 2. Некоммутативное интегрирование уравнений Гамильтона
§ 3. Вихревой метод интегрирования
§ 4. Полная интегрируемость фактор-системы
§ 5. Расширенный метод Гамильтона — Якоби
§ 6. Системы с трехмерными инвариантными многообразиями
Дополнение 1. Инварианты завихренности и вторичная гидродинамика
Дополнение 2. Квантовая механика и гидродинамика
Дополнение 3. Уравнение вихря 2D-гидродинамики как кинетическое уравнение
Литература
Предметный указатель
