Колебания и фракционный анализ

Колебания и фракционный анализ
Переплет, 412 стр.
Формат 60*84 1/16
Вес  620 г
490

Аннотация

В пособии излагаются классические и новые подходы, задачи и методы теории колебаний, а также способы построения простых математических моделей для исследования выбранных свойств динамики разных систем. Обсуждаются подходы качественной теории дифференциальных уравнений: для систем второго порядка — методы исследования фазовой плоскости, условия грубости, ряд типичных бифуркаций положений равновесия, предельных циклов и законы их совместного существования; для систем произвольного порядка — условие консервативности и способы изучения поведения решений вблизи периодических решений. Рассматриваются общие свойства линейных систем, изучается ряд вопросов теории устойчивости движения и теории малых колебаний. Излагается теория систем с периодическими коэффициентами и ее связь с теорией устойчивости периодических траекторий. Представлены приближенные методы исследования уравнений динамики, опирающиеся на методы теории размерностей и подобия и методы теории возмущений, которые позволяют формализовать способы упрощения этих уравнений, оценить возможности их применения и выяснить, как их следует изменить в случае, когда они теряют смысл. Приведен ряд примеров возникновения динамического хаоса в детерминированных системах. Общие результаты проиллюстрированы задачами механики и других областей знания.
Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров

Содержание

Вступительное слово
Предисловие
Введение
Глава 1. Динамические системы. Методы качественного исследования автономных систем 1. Динамические системы и условие их консервативности. Фазовое пространство автономных систем. Построение фазовой плоскости систем второго порядка 2. Фазовая плоскость автономной консервативной системы. Фазовый портрет физического маятника без трения 3. Динамика совместного существования видов. Метод фазовой плоскости в задаче «хищник-жертва» 4. Бифуркации положений равновесия консервативных систем на фазовой плоскости 5. Бифуркации положений равновесия маятника на вращающемся основании 6. Предельные циклы. Критерий Бендиксона-Дюлака. Теория индексов Пуанкаре и законы совместного существования положений равновесия и замкнутых траекторий на фазовой плоскости 7. Отображение Пуанкаре. Условия устойчивости периодической траектории автономной системы 8. Одномерное отображение Пуанкаре. Диаграмма Ламерея 9. Системы с хаотическим поведением. Логистическое отображение 10. Грубые системы. Теорема Андронова-Понтрягина. Бифуркации предельных циклов на фазовой плоскости
Глава 2. Теория линейных систем и приложения 11. Структура решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Системы с постоянными коэффициентами и устойчивость по первому приближению 12. Матричная форма уравнений консервативных систем. Теория малых колебаний 13. Экстремальные свойства собственных частот. Теорема Фишера-Куранта. Изменение частот при наложении связей, изменении жесткости и инерционности 14. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных малых колебаний. Малые колебания связанных маятников и их свойства 15. Уравнения Лагранжа с множителями для систем с голономными связями. Малые колебания консервативной системы со связью и способ отыскания ее частот при известных частотах свободной системы 16. Влияние периодических сил на малые колебания консервативной системы. Принцип взаимности. Динамический гаситель колебаний. Резонанс 17. Отыскание параметров консервативной системы путем создания свободных и вынужденных малых колебаний 18. Влияние позиционных, диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положений равновесия механических систем 19. Стабилизация положений равновесия волчка 20. Неустойчивость поперечных колебаний железнодорожной колесной пары 21. Свободные колебания осциллятора с вязким и кулоновым трением 22. Вынужденные колебания линейного осциллятора. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики 23. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке. Мультипликаторы Флоке и их свойства 24. Приводимость линейных систем с периодическими коэффициентами. Теорема об устойчивости 25. Система в вариациях для периодического решения автономной системы. Связь его мультипликаторов Флоке с мультипликаторами соответствующего отображения Пуанкаре 26. Устойчивость периодического решения автономной системы. Теорема Андронова-Витта. Орбитальная устойчивость. Признак Пуанкаре устойчивости предельного цикла на фазовой плоскости 27. Параметрические колебания. Уравнение Матье. Влияние вертикальной вибрации точки подвеса на устойчивость положений равновесия маятника
Глава 3. Фракционный анализ. Математические методы разделения движений 28. Фракционный анализ. Регулярные и сингулярные возмущения. Асимптотические и сходящиеся ряды 29. Разложение Пуанкаре для систем с малым параметром в правой части и его особенности за пределами конечного интервала времени 30. Неизохронность колебаний тела в пружинном подвесе 31. Хаотические колебания вблизи петли сепаратрисы седловой точки 32. Хаотические переходы в бистабильных системах на плоскости. Модифицированное уравнение Дуффинга 33. Разделение движений в системах с малым параметром при производных. Теорема Тихонова-Васильевой и возможность применения ее результатов на временной полупрямой 34. Разделение быстрых и медленных движений физического маятника с вязким трением 35. Корректность модели абсолютно твердого тела 36. Системы с разрывными правыми частями. Построение уравнений скользящего режима при помощи методов теории сингулярных возмущений 37. Парадоксы Пенлеве и динамика тормозной колодки 38. Осреднение в системах с одной быстрой фазой. Системы в стандартной форме. Осреднение на временной полупрямой. Теорема о существовании и устойчивости периодического режима 39. Автоколебания осциллятора с нелинейным трением 40. Системы с несколькими быстрыми фазами. Осреднение по траекториям порождающей системы. Резонанс. Теорема об осреднении двухчастотных систем, не застревающих на резонансе 41. Осреднение в резонансном случае для систем с постоянными частотами 42. Главный параметрический резонанс для уравнения Матье. Приближение для границ первой области неустойчивости на диаграмме Айнса-Стретта
Приложение
43. Теорема Адамара о свойствах отображения Пуанкаре вблизи неподвижной седловой точки при периодических по времени возмущениях 44. Асимптотические разложения решений систем с малым параметром при производных 45. Асимптотические разложения решений систем с одной быстрой фазой
Литература