Дискретная дифференциальная геометрия возникла и развивается на стыке дифференциальной и дискретной геометрии. Её целью является разработка разностных эквивалентов понятий и методов классической теории поверхностей. Последняя воспроизводится в результате непрерывного предела. Интерес к дискретной дифференциальной геометрии обусловлен не только её важностью для чистой математики, но также и её актуальностью для приложений в компьютерной графике, теоретической физике, архитектуре и численных методах. Недавний прогресс в дискретной дифференциальной геометрии привёл не только к дискретизации большого числа классических результатов, но также и к лучшему пониманию фундаментальных структур, лежащих в основе классической дифференциальной геометрии и теории интегрируемых систем. Настоящая книга даёт систематическое изложение современных достижений в этой области.

Предисловие
Введение

Глава 1. Классическая дифференциальная геометрия
1.1. Сопряжённые сети
1.2. Сети Кёнигса и Мутара
1.3. Асимптотические сети
1.4. Ортогональные сети
1.5. Сферические конгруэнции с главной параметризацией
1.6. Поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны
1.7. Изотермические поверхности
1.8. Поверхности постоянной средней кривизны
1.9. Библиографический комментарий

Глава 2. Принципы дискретизации. Многомерные сети
2.1. Дискретные сопряженные сети (Q-сети)
2.2. Дискретные конгруэнции прямых
2.3. Дискретные сети Кёнигса и Мутара
2.4. Дискретные асимптотические сети
2.5. Упражнения
2.6. Библиографический комментарий

Глава 3. Принципы дискретизации. Сети на квадриках
3.1. Циркулярные сети
3.2. Q-сети на квадриках
3.3. Дискретные конгруэнции прямых на квадриках
3.4. Конические сети
3.5. Сети главных контактных элементов
3.6. Q-конгруэнции сфер
3.7. Рибокуровские конгруэнции сфер
3.8. Параметризация дискретными линиями кривизны в геометриях Ли, Мёбиуса и Лагерра
3.9. Дискретные асимптотические сети в плюккеровой геометрии прямых
3.10. Упражнения
3.11. Библиографический комментарий

Глава 4. Специальные классы дискретных поверхностей
4.1. Дискретные сети Мутара на квадриках
4.2. Дискретные K-сети
4.3. Дискретные изотермические сети
4.4. S-изотермические сети
4.5. Дискретные поверхности постоянной кривизны
4.6. Упражнения
4.7. Библиографический комментарий

Глава 5. Аппроксимация
5.1. Дискретные гиперболические системы
5.2. Аппроксимация дискретных гиперболических систем
5.3. Сходимость Q-сетей
5.4. Сходимость дискретных сетей Мутара
5.5. Сходимость дискретных асимптотических сетей
5.6. Сходимость циркулярных сетей
5.7. Сходимость дискретных K-поверхностей
5.8. Упражнения
5.9. Библиографический комментарий

Глава 6. Совместность как интегрируемость
6.1. Непрерывные интегрируемые системы
6.2. Дискретные интегрируемые систем
6.3. Дискретные двумерные интегрируемые системы на графах
6.4. Дискретные уравнения типа Лапласа
6.5. Квад-графы
6.6. Трёхмерная совместность
6.7. От 3D-совместности к представлениям нулевой кривизны и преобразованиям Бэклунда
6.8. Геометрия граничных задач для интегрируемых двумерных уравнений
6.9. 3D-совместные уравнения с некоммутативными полями
6.10. Классификация дискретных интегрируемых двумерных систем с полями в вершинах. I
6.11. Доказательство классификационной теоремы
6.12. Классификация дискретных интегрируемых двумерных систем с полями в вершинах. II
6.13. Интегрируемые дискретные уравнения типа Лапласа
6.14. Поля на рёбрах: отображения Янга-Бакстера
6.15. Классификация отображений Янга-Бакстера
6.16. Дискретные интегрируемые трёхмерные системы
6.17. Упражнения
6.18. Библиографический комментарий

Глава 7. Дискретный комплексный анализ. Линейная теория
7.1. Основные понятия дискретного комплексного анализа
7.2. ПреобразованиеМутара для дискретных уравнений Коши-Римана
7.3. Интегрируемые дискретные уравнения Коши-Римана
7.4. Дискретные экспоненциальные функции
7.5. Дискретная логарифмическая функция
7.6. Упражнения
7.7. Библиографический комментарий

Глава 8. Дискретный комплексный анализ. Интегрируемые конгруэнции окружностей
8.1. Конгруэнции окружностей
8.2. Интегрируемые системы двойного отношения и Хироты
8.3. Интегрируемые конгруэнции окружностей
8.4. Конгруэнции окружностей z^a и log_z
8.5. Линеаризация
8.6. Упражнения
8.7. Библиографический комментарий

Глава 9. Основания
9.1. Проективная геометрия
9.2. Геометрия Ли
9.3. Геометрия Мёбиуса
9.4. Лагеррова геометрия
9.5. Плюккерова геометрия прямых
9.6. Теоремы инцидентности

Приложение. Решения избранных упражнений

Литература
Предметный указатель