Настоящая монография посвящена современному состоянию теории виртуальных узлов и теории гомологий Хованова. Одним из центральных ее результатов является построение теории гомологий Хованова для виртуальных узлов. Кроме этого в монографии систематически излагаются все центральные направления теории виртуальных узлов, связанные как с геометрической, так и с комбинаторно-алгебраической ее составляющей. Приведены многочисленные приложения методов теории виртуальных узлов и гомологий Хованова к задачам о вложении графов в двумерные поверхности (гипотеза Васильева и ее обобщения), инвариантам Васильева классических узлов, теории узлов в трехмерном проективном пространстве, задачам минимальности теории узлов. Особое место занимает теория четности, которая благодаря правильной трактовке перекрестков как "четных" и "нечетных" позволяет строить  функториальные отображение, многие новые инварианты, усиливать старые инварианты и доказывать теоремы минимальности. В работе положено начало теории граф-зацеплений - комбинатороного обобщения узлов и виртуальных узлов (Мантуров-Ильютко).

Предисловие

Глава 1. Основные определения и понятия
1.1. Классические узлы
1.2. Виртуальные узлы
1.3. Индекс самозацепления

Глава 2. Виртуальные узлы и трехмерная топология
2.1. Введение
2.2. Теорема Куперберга
2.3. Род виртуального узла
2.4. Распознавание виртуальных узлов

Глава 3. Дистрибутивные группоиды в теории виртуальных узлов
3.1. Введение
3.2. Группоиды и их обобщения
3.3. Длинные виртуальные узлы
3.4. Виртуальные узлы и бесконечномерные алгебры Ли
3.5. Иерархия виртуальных узлов

Глава 4. Полином Джонса. Атомы
4.1. Введение
4.2. Основные определения
4.3. Полином Ξ. Вопросы минимальности
4.4. Жесткие виртуальные узлы
4.5. Минимальные диаграммы длинных виртуальных узлов

Глава 5. Комплекс Хованова для виртуальных узлов
5.1. Введение
5.2. Основные используемые конструкции
5.3. Комплекс Хованова с коэффициентами в поле Z₂
5.4. Комплекс Хованова удвоений узлов
5.5. Атомы и комплекс Хованова
5.6. Гомологи Хованова и четность
5.7. Затягивающее дерево для комплекса Хованова
5.8. Полином Хованова и фробениусовы расширения
5.9. Минимальные диаграммы зацеплений

Глава 6. Гомологии Хованова виртуальных узлов с произвольными коэффициентами
6.1. Введение. Основной результат
6.2. Атомы и скрученные виртуальные узлы
6.3. Определение комплекса Хованова для виртуальных узлов
6.4. Формулировка и доказательство основной теоремы
6.5. Обобщения

Глава 7. Виртуальные косы
7.1. Введение
7.2. Определения виртуальных кос
7.3. Виртуальные косы и виртуальные узлы
7.4. Скобка Кауфмана для кос
7.5. Нормальная форма кос по В. Г. Бардакову
7.6. Инвариант виртуальных кос

Глава 8. Инварианты Васильева
8.1. Введение
8.2. Инварианты Васильева классических узлов
8.3. Подход Гусарова-Поляка-Виро
8.4. Подход Кауфмана
8.5. Инварианты Васильева, порожденные инвариантом Ξ
8.6. Бесконечность количества длинных узлов
8.7. Графы, хордовые диаграммы и полином Кауфмана
8.8. Эйлеровы циклы, гауссовы циклы и поворачивающие обходы (Д. П. Ильютко)
8.9. Доказательство гипотезы Васильева
8.10. Вложения оснащенных 4-графов

Глава 9. Четность в теории узлов
9.1. Введение
9.2. Свободные узлы и четная аксиоматика. Атомы
9.3. Функториальное отображение f
9.4. Инварианты
9.5. Скобка Голдмана и коскобка Тураева
9.6. Применения дельты Тураева
9.7. Скобка Кауфмана

Глава 10. Теория граф-зацеплений (Д. П. Ильютко и В. О. Мантуров)
10.1. Введение
10.2. Граф-зацепления и петлевые графы
10.3. Четность, минимальность и нетривиальные примеры
10.4. Скобка Кауфмана. Теоремы минимальности

Литература
Предметный указатель