Книга посвящена теории и численным методам гарантированного оценивания и аппроксимации множеств. Техника и математический аппарат интервального анализа строго обобщаются на процедуры работы с множествами. Впервые в монографической литературе детально рассматривается приложение разработанных методов к решению систем нелинейных уравнений и неравенств, задачам оптимизации, оценивания параметров и состояний, робастного управления и робототехники. Приводится подборка примеров и упражнений.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, студентов, аспирантов, инженеров и научных работников, занятых исследованием и проектированием систем обработки информации и систем управления, а также на математиков, вычислителей и программистов.

Предисловие

РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Введение
1.1. Основные идеи
1.2. Предыстория
1.3. О сложности вычислений
1.4. Структура книги

РАЗДЕЛ II. АППАРАТ ИНТЕРВАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Глава 2. Основные понятия интервального анализа
2.1. Введение
2.2. Операции над множествами
2.2.1. Теоретико-множественные операции
2.2.2. Расширенные операции
2.2.3. Свойства операторов над множествами
2.2.4. Оболочки
2.3. Интервальный анализ
2.3.1. Интервалы
2.3.2. Интервальные вычисления
2.3.3. Замкнутые интервалы
2.3.4. Интервальные векторы
2.3.5. Интервальные матрицы
2.4. Функции включения
2.4.1. Определения
2.4.2. Естественные функции включения
2.4.3. Центрированные функции включения
2.4.4. Смешанные центрированные функции включения
2.4.5. Тейлоровские функции включения
2.4.6. Сравнение
2.5. Проверки включения
2.5.1. Интервальные булевские переменные
2.5.2. Проверки
2.5.3. Проверки включений для множеств
2.6. Выводы

Глава 3. Покрытия
3.1. Введение
3.2. Топология множеств
3.2.1. Расстояние между компактными множествами
3.2.2. Замыкание компактных множеств при покрытиях
3.3. Регулярные покрытия
3.3.1. Покрытия и подпокрытия
3.3.2. Представление регулярного подпокрытия как двоичного дерева
3.3.3. Основные операции на регулярных подпокрытиях
3.4. Выполнение вычислений с множествами
3.4.1. Обращение множеств
3.4.2. Численное оценивание образа
3.5. Выводы

Глава 4. Сжимающие операторы
4.1. Введение
4.2. Основные сжимающие операторы
4.2.1. Конечные разрешающие операторы
4.2.2. Конечные разрешающие операторы на интервалах
4.2.3. Методы с неподвижной точкой
4.2.4. Двустороннее преобразование
4.2.5. Подход на основе линейного программирования
4.3. Аппроксимация сверху
4.3.1. Основная идея
4.3.2. Предварительные условия
4.3.3. Ньютоновский сжимающий оператор
4.3.4. Параллельная линеаризация
4.3.5. Использование формальных преобразований
4.4. Взаимодействие между сжимающими операторами
4.4.1. Основная идея
4.4.2. Сжимающие операторы и функции включения
4.5. Сжимающие операторы для множеств
4.5.1. Определения
4.5.2. Множества, определяемые ограничениями в виде равенств и неравенств
4.5.3. Улучшение операторов сжатия при использовании локального поиска
4.6. Выводы

Глава 5. Методы решения
5.1. Введение
5.2. Решения систем квадратных нелинейных уравнений
5.3. Описание свойств множеств, определяемых неравенствами
5.4. Интервальная оболочка множества, задаваемого неравенствами
5.4.1. Первый подход
5.4.2. Второй подход
5.5. Глобальная оптимизация
5.5.1. Алгоритм Мура-Скелбо
5.5.2. Алгоритм Хансена
5.5.3. Использование расширений интервальных ограничений
5.6. Минимаксная оптимизация
5.6.1. Случай отсутствия ограничений
5.6.2. Случай наличия ограничений
5.6.3. Работа с кванторами
5.7. Линии уровня
5.8. Выводы

РАЗДЕЛ III. ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава 6. Оценивание
6.1. Введение
6.2. Оценивание параметров с помощью оптимизации
6.2.1. Оценивание параметров методом наименьших квадратов при моделировании структур
6.2.2. Минимаксное оценивание параметров
6.3. Гарантированные оценки параметров
6.3.1. Введение
6.3.2. Случай известных независимых переменных
6.3.3. Защита от выбросов
6.3.4. Случай неопределенности независимых переменных
6.3.5. Вычисление оболочки постериорного допустимого множества
6.4. Гарантированные оценки состояний
6.4.1. Введение
6.4.2. Оценивание начального состояния
6.4.3. Оценивание всех переменных
6.4.4. Оценивание с помощью расширения ограничений
6.5. Выводы

Глава 7. Робастное управление
7.1. Введение
7.2. Устойчивость детерминированных линейных систем
7.2.1. Характеристический полином
7.2.2. Критерий Рауса
7.2.3. Степень устойчивости
7.3. Основные проверки робастной устойчивости
7.3.1. Интервальные полиномы
7.3.2. Полиномы на параллелотопах
7.3.3. Множественно=значные полиномы
7.3.4. Заключение
7.4. Анализ робастной устойчивости
7.4.1. Области устойчивости
7.4.2. Степень устойчивости
7.4.3. Подход на основе области значений
7.4.4. Границы робастной устойчивости
7.4.5. Радиус устойчивости
7.5. Синтез управления
7.6. Выводы

Глава 8. Робототехника
8.1. Введение
8.2. Задача улучшенной кинематики для платформ Стюарта-Гофа
8.2.1. Платформы Стюарта-Гофа
8.2.2. От рамы на мобильной плате к раме базы
8.2.3. Решаемые уравнения
8.2.4. Решение
8.3. Планирование маршрута
8.3.1. Графическая дискретизация пространства конфигураций
8.3.2. Алгоритмы нахождения допустимого маршрута
8.3.3. Тестовый пример
8.4. Определение местоположения и слежение за мобильным роботом
8.4.1. Формулировка статической задачи определения местоположения робота
8.4.2. Модель процесса измерения
8.4.3. Обращение множеств
8.4.4. Обработка выбросов
8.4.5. Пример статической задачи определения местоположения
8.4.6. Слежение
8.4.7. Пример
8.5. Выводы

РАЗДЕЛ IV. РЕАЛИЗАЦИЯ

Глава 9. Автоматическое дифференцирование
9.1. Введение
9.2. Прямое и обратное дифференцирование
9.2.1. Прямое дифференцирование
9.2.2. Обратное дифференцирование
9.3. Дифференцирование алгоритмов
9.3.1. Первое предположение
9.3.2. Второе предположение
9.3.3. Третье предположение
9.4. Примеры
9.4.1. Пример 1
9.4.2. Пример 2
9.5. Выводы

Глава 10. Гарантированные расчеты при вычислениях с числами с плавающей точкой
10.1. Введение
10.2. Числа с плавающей точкой и стандарт IEEE-754
10.2.1. Представление
10.2.2. Округление
10.2.3. Специальные величины
10.3. Интервалы и стандарт IEEE-754
10.3.1. Машинные интервалы
10.3.2. Арифметика замкнутых интервалов
10.3.3. Работа с элементарными функциями
10.3.4. Улучшение интервальных оценок
10.4. Источники программного обеспечения для интервальных вычислений
10.5. Выводы

Глава 11. Материал для самостоятельных упражнений
11.1. Введение
11.2. Сведения о C++
11.2.1. Структура программы
11.2.2. Стандартные типы
11.2.3. Указатели
11.2.4. Передача параметров в функцию
11.3. Класс INTERVAL
11.3.1. Конструкторы и деструкторы
11.3.2. Другие функции класса
11.3.3. Математические функции
11.4. Интервалы в PROFIL/BIAS
11.4.1. BIAS
11.4.2. PROFIL
11.4.3. Запуск программы
11.5. Упражнения на вычисление интервалов
11.6. Интервальные векторы
11.6.1. Класс INTERVAL{\_}VECTOR
11.6.2. Конструкторы, операторы присвоения и вызова функций
11.6.3. Функции-друзья
11.6.4. Утилиты
11.7. Векторы в PROFIL/BIAS
11.8. Упражнения на интервальные векторы
11.9. Интервальные матрицы
11.10. Матрицы в PROFIL/BIAS
11.11. Упражнения на интервальные матрицы
11.12. Регулярные покрытия в PROFIL/BIAS
11.12.1. Класс NODE
11.12.2. Обращения множеств с покрытиями
11.12.3. Оценивание образов с покрытиями
11.12.4. Моделирование системы и оценивания состояния с покрытиями
11.13. Обработка ошибок
11.13.1. Использование оператора exit
11.13.2. Обработка исключений
11.13.3. Обработка ошибок математических вычислений

Литература

Предметный указатель