Действительный и функциональный анализ: университетский курс. 3-е изд., испр. и доп

Действительный и функциональный анализ: университетский курс. 3-е изд., испр. и доп
Богачев В.И., Смолянов О.Г. Серия Математика и механика ISBN 978-5-4344-0881-3 Издательство «ИКИ» 2020 г.
Переплет, 756 стр.
Формат 60*84 1/16
Вес  1060 г
870

Аннотация

Книга содержит стандартный университетский курс действительного и функционального анализа, рассчитанный на три семестра и включающий весь дополнительный материал по функциональному анализу и теории функций действительного переменного, входящий в программу кандидатского минимума по специальности «Математический анализ». Кроме того, в несколькихде сяткахраз делов представлена обширная коллекция яркихи интересныхфак тов из разных разделов теории функций и функционального анализа — как классических, так и современных. Все основные результаты и понятия проиллюстрированы большим числом примеров. Имеется более 500 упражнений. По всем разделам даны библиографические указания, призванные помочь дальнейшему профессиональному совершенствованию читателя в теории функций и функциональном анализе и познакомить его с последними достижениями. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физико-математических, инженерно-математических, инженерно-физическихи экономических специальностей, а также на широкий круг научных работников в теоретическихи прикладных областях математики.

Содержание

Предисловие
Глава 1. Метрические и топологические пространства 1.1. Элементы теории множеств 1.2. Метрические пространства 1.3. Непрерывные отображения 1.4. Принцип сжимающих отображений 1.5. Теорема Бэра о категории 1.6. Топологические пространства 1.7. Компактные множества и их свойства 1.8. Критерии компактности 1.9. Дополнения и задачи Направленности в топологическихпр остранствах(4 6). Теорема Тихонова (49). Счетная и секвенциальная компактность (50). Функциональная отделимость множеств (53). Теорема Стоуна -Вейерштрасса (58). Канторовское множество (61). Кардинальные характеристики метрических пространств (62). Задачи (63).
Глава 2. Основы теории меры 2.1. Вводные замечания 2.2. Алгебры и σ-алгебры 2.3. Аддитивность и счетная аддитивность 2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 2.5. Меры Лебега и Лебега — Стилтьеса 2.6. Знакопеременные меры 2.7. Дополнения и задачи Измеримость Каратеодори и продолжения мер (107). Задачи (111).
Глава 3. Интеграл Лебега 3.1. Измеримые функции 3.2. Сходимость по мере и почти всюду 3.3. Конструкция интеграла Лебега 3.4. Предельный переход под знаком интеграла 3.5. Пространство L1 3.6. Признаки интегрируемости 3.7. Связь с интегралом Римана 3.8. Неравенства Г¨eльдера, Йенсена и Минковского 3.9. Теорема Радона -Никодима 3.10. Произведение пространств с мерами 3.11. Теорема Фубин 3.12. Дополнения и задачи Критерий интегрируемости по Риману (169). Образ меры при отображении (170). Бесконечные произведения мер (172). Равномерная интегрируемость (172). Лифтинги (176). Задачи (176).
Глава 4. Связь интеграла и производной 4.1. Дифференцируемые функции 4.2. Функции ограниченной вариации 4.3. Абсолютно непрерывные функции 4.4. Формула Ньютона -Лейбница 4.5. Дополнения и задачи Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса (202). Сходимость рядов Фурье (203). Задачи (213).
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства 5.1. Нормированные пространства 5.2. Примеры 5.3. Шары в нормированныхп ространствах 5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции 5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера 5.6. Дополнения и задачи Шары и эллипсоиды (238). Теоремы Кадеца и Милютина (239). Упорядоченные векторные пространства и векторные решетки (239). Задачи (243).
Глава 6. Линейные операторы и функционалы 6.1. Норма и непрерывность оператора 6.2. Теорема о замкнутом графике 6.3. Теорема Хана — Банаха 6.4. Применения теоремы Хана — Банаха 6.5. Сопряженные к конкретным пространствам 6.6. Слабая и ∗-слабая топологии 6.7. Компактность в ∗-слабой топологии 6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы 6.9. Компактные операторы 6.10. Дополнения и задачи Образы операторов и факторизация (305). Слабая компактность в банаховых пространствах(308). Свойство Банаха — Сакса и равномерная выпуклость (318). Базисы, аппроксимации и дополнения (320). Операторы на упорядоченных векторных пространствах(326). Векторное интегрирование (333). Интеграл Даниэля (337). Интерполяционные теоремы (344). Задачи (346).
Глава 7. Спектральная теория 7.1. Спектр оператора 7.2. Квадратичная форма и спектр самосопряженного оператора 7.3. Спектр компактного оператора 7.4. Альтернатива Фредгольма 7.5. Теорема Гильберта -Шмидта 7.6. Унитарные операторы 7.7. Непрерывные функции от самосопряженных операторов 7.8. Функциональная модель 7.9. Проекторы и проекторнозначные меры 7.10. Дополнения и задачи Структура спектра (408). Коммутирующие самосопряженные операторы (410). Образы операторов в гильбертовом пространстве (416). Операторы Гильберта -Шмидта и ядерные операторы (419). Интегральные операторы и теорема Мерсера (434). Тензорные произведения (437). Фредгольмовы операторы (438). Векторная форма спектральной теоремы (442). Инвариантные подпространства (444). Задачи (445).
Глава 8. Локально выпуклые пространства и обобщенные функции 8.1. Локально выпуклые пространства 8.2. Линейные отображения 8.3. Отделение выпуклых множеств 8.4. Обобщенные функции 8.5. Производная обобщенной функции 8.6. Дополнения и задачи Метризуемость и нормируемость (483). Топология Макки (486). Индуктивные и проективные пределы (489). Бочечные и борнологические пространства (490). Банаховы пространства, порожденные функционалами Минковского (491). Теорема Крейна -Мильмана (498). Теорема об измеримом графике (500). Теоремы о неподвижныхто чках в локально выпуклых пространствах(500). Задачи (501).
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева 9.1. Преобразование Фурье в L1 9.2. Преобразование Фурье в L2 9.3. Преобразование Фурье в S 9.4. Свертка 9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки 9.6. Преобразование Лапласа 9.7. Применения к дифференциальным уравнениям 9.8. Пространства Соболева Wp,k 9.9. Описание W2,k через преобразование Фурье 9.10. Дополнения и задачи Сингулярные интегралы (542). Теоремы вложения (546). Теоремы Бохнера и Пэли — Винера (549). Задачи (550).
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп 10.1. Графики и сопряженные 10.2. Симметричные и самосопряженные операторы 10.3. Спектральная теорема 10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов 568
10.5. Полугруппы операторов 577
10.6. Генераторы полугрупп 584
10.7. Дополнения и задачи 592
Расширения симметричныхоп ераторов (592). Полуограниченные формы и операторы (598). Теоремы Чернова и Троттера (602). Математическая модель квантовой механики (605). Операторы Штурма — Лиувилля (615). Задачи (617).
Глава 11. Банаховы алгебры 11.1. Основные определения 11.2. Идеалы 11.3. Спектры 11.4. Функциональное исчисление 11.5. Коммутативные банаховы алгебры 11.6. Структура C∗-алгебр 11.7. Дополнения и задачи Алгебры C(K) и L∞ (650). Алгебры фон Неймана (652). Меры Хаара и представления групп (652). Задачи (654).
Глава 12. Бесконечномерный анализ 12.1. Дифференцируемость и производные 12.2. Свойства дифференцируемых отображений 12.3. Обратные и неявные функции 12.4. Производные высших порядков 12.5. Дополнения и задачи Метод Ньютона (682). Полилинейные отображения (683). Субдифференциалы и монотонные отображения (687). Приближения в банаховыхп ространствах(689). Накрывающие отображения (690). Задачи (691).
Комментарии Примерные экзаменационные программы Литература Предметный указатель