Книга посвящена современной области вычислительной математики, связанной с изучением некорректных задач и методов их приближенного решения с использованием регуляризующих алгоритмов. Излагаются и комментируются важные результаты теории регуляризации, многие из которых ранее были доступны лишь по журнальным публикациям. Предметом теории регуляризации является анализ потенциальных возможностей широких классов алгоритмов регуляризации в применении к различным типам некорректных задач. Подробно обсуждается вопрос о том, для каких общих вычислительных задач, понимаемых как задачи аппроксимации значения разрывного отображения между метрическими пространствами и как задачи отыскания решений операторных уравнений в парах банаховых и нормированных пространств, возможно или невозможно построить регуляризующие алгоритмы. Изучаются потенциально достижимые уровни точности регуляризующих алгоритмов при различных способах ее оценки. Наряду с классическими результатами приводятся относительно малоизвестные факты о равномерных априорных, апостериорных и поточечных оценках точности алгоритмов регуляризации. Результаты, относящиеся к абстрактным вычислительным некорректным задачам, конкретизируются в применении к линейным операторным уравнениям в банаховых пространствах. Особое внимание уделяется классам некорректных задач, для которых возможно построение регуляризующих алгоритмов без использования информации об уровне ошибки во входных данных. Отдельная глава посвящена некорректным задачам оптимизации и общим свойствам алгоритмов регуляризации таких задач.
Книга предназначена широкому кругу специалистов в области нелинейного анализа,
ВведениеГЛАВА I. Абстрактные некорректные задачи и регуляризующие алгоритмы§ 1. Вспомогательные сведения§ 2. Некорректные задачи как операторные уравнения и задачи нахождения значений разрывных операторов. Регуляризующие алгоритмы§ 3. Общие теоремы о регуляризуемости§ 4. Условия регуляризуемости линейных операторных уравнений§ 5. Регуляризуемость линейных интегральных уравнений и других линейных некорректных задач. Пример
ГЛАВА II. Оценки точности и оптимальность регуляризующих алгоритмов§ 7. Оценки точности приближения при решении некорректных задач§ 8. Сравнение регуляризующих алгоритмов по точности. Оптимальные алгоритмы§ 9. Можно ли решать некорректные задачи с точностью, превышающей погрешность входных данных?§ 10. Апостериорные оценки точности алгоритмов регуляризации§ 11. Условно корректные и обобщенно корректные задачи§ 12. Условно корректные сильно выпуклые экстремальные задачи§ 13. Оценки точности регуляризующих алгоритмов в контексте прямых и обратных теорем теории приближения функций§ 14. Прямые и обратные теоремы для методов аппроксимации решений нерегулярных линейных уравнений§ 15. Прямые и обратные теоремы для методов решения некорректных задач Коши§ 16. Прямые и обратные теоремы для итеративно регуляризованных методов решения нерегулярных нелинейных уравнений и д ля схемы Тихонова
ГЛАВА III. Регуляризация экстремальных задач. Выпуклые структуры в теории некорректных задач§ 17. Некорректные экстремальные задачи и регуляризующие алгоритмы§ 18. Равномерные оценки точности при решении экстремальных задач§ 19. Регуляризация экстремальных задач без использования информации о погрешности в данных§ 20. Какие экстремальные задачи можно решать с точностью, пропорциональной погрешности в данных?§ 21. О выпуклости функционала невязки условно корректных задач§ 22. Кластеризация стационарных точек функционала невязки условно корректных задач§ 23. Кластеризация решений нелинейных уравнений и стационарных точек функционала невязки при отсутствии условной корректности§ 24. О выпуклости замыкания образа оператора Урысона§ 25. Устойчивая обобщенная разрешимость интегральных уравнений на конусе
Заключительные замечанияЛитератураПредметный указатель
© 2001—2024 НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»