Элементы общей теории регуляризации некорректных задач

Элементы общей теории регуляризации некорректных задач
Кокурин М.Ю. Серия Математика и механика ISBN 978-5-4344-0987-2 Издательство «ИКИ» 2023 г.
Переплет, 356 стр.
Формат 60*84 1/16
Вес  690 г

Аннотация

Книга посвящена современной области вычислительной математики, связанной с изучением некорректных задач и методов их приближенного решения с использованием регуляризующих алгоритмов. Излагаются и комментируются важные результаты теории регуляризации, многие из которых ранее были доступны лишь по журнальным публикациям. Предметом теории регуляризации является анализ потенциальных возможностей широких классов алгоритмов регуляризации в применении к различным типам некорректных задач. Подробно обсуждается вопрос о том, для каких общих вычислительных задач, понимаемых как задачи аппроксимации значения разрывного отображения между метрическими пространствами и как задачи отыскания решений операторных уравнений в парах банаховых и нормированных пространств, возможно или невозможно построить регуляризующие алгоритмы. Изучаются потенциально достижимые уровни точности регуляризующих алгоритмов при различных способах ее оценки. Наряду с классическими результатами приводятся относительно малоизвестные факты о равномерных априорных, апостериорных и поточечных оценках точности алгоритмов регуляризации. Результаты, относящиеся к абстрактным вычислительным некорректным задачам, конкретизируются в применении к линейным операторным уравнениям в банаховых пространствах. Особое внимание уделяется классам некорректных задач, для которых возможно построение регуляризующих алгоритмов без использования информации об уровне ошибки во входных данных. Отдельная глава посвящена некорректным задачам оптимизации и общим свойствам алгоритмов регуляризации таких задач.

Книга предназначена широкому кругу специалистов в области нелинейного анализа, в т. ч. исследователям, занимающимся созданием и использованием методов регуляризации обратных и некорректных задач. Может быть полезна студентам и аспирантам математических специальностей университетов.

Содержание

Введение
ГЛАВА I. Абстрактные некорректные задачи и регуляризующие алгоритмы
§ 1. Вспомогательные сведения
§ 2. Некорректные задачи как операторные уравнения и задачи нахождения значений разрывных операторов. Регуляризующие алгоритмы
§ 3. Общие теоремы о регуляризуемости
§ 4. Условия регуляризуемости линейных операторных уравнений
§ 5. Регуляризуемость линейных интегральных уравнений и других линейных некорректных задач. Пример Л. Д. Менихеса
§ 6. Базовые конструкции регуляризующих алгоритмов

ГЛАВА II. Оценки точности и оптимальность регуляризующих алгоритмов
§ 7. Оценки точности приближения при решении некорректных задач
§ 8. Сравнение регуляризующих алгоритмов по точности. Оптимальные алгоритмы
§ 9. Можно ли решать некорректные задачи с точностью, превышающей погрешность входных данных?
§ 10. Апостериорные оценки точности алгоритмов регуляризации
§ 11. Условно корректные и обобщенно корректные задачи
§ 12. Условно корректные сильно выпуклые экстремальные задачи
§ 13. Оценки точности регуляризующих алгоритмов в контексте прямых и обратных теорем теории приближения функций
§ 14. Прямые и обратные теоремы для методов аппроксимации решений нерегулярных линейных уравнений
§ 15. Прямые и обратные теоремы для методов решения некорректных задач Коши
§ 16. Прямые и обратные теоремы для итеративно регуляризованных методов решения нерегулярных нелинейных уравнений и д ля схемы Тихонова

ГЛАВА III. Регуляризация экстремальных задач. Выпуклые структуры в теории некорректных задач
§ 17. Некорректные экстремальные задачи и регуляризующие алгоритмы
§ 18. Равномерные оценки точности при решении экстремальных задач
§ 19. Регуляризация экстремальных задач без использования информации о погрешности в данных
§ 20. Какие экстремальные задачи можно решать с точностью, пропорциональной погрешности в данных?
§ 21. О выпуклости функционала невязки условно корректных задач
§ 22. Кластеризация стационарных точек функционала невязки условно корректных задач
§ 23. Кластеризация решений нелинейных уравнений и стационарных точек функционала невязки при отсутствии условной корректности
§ 24. О выпуклости замыкания образа оператора Урысона
§ 25. Устойчивая обобщенная разрешимость интегральных уравнений на конусе

Заключительные замечания
Литература
Предметный указатель