Аннотация
Теорема Понселе является одним из красивейших и важнейших результатов проективной геометрии. В данной книге впервые в мировой литературе систематическим образом изложены теоремы типа Понселе, а также их естественные более многомерные обобщения и приложения в области механики и геометрии. Основная цель этой книги заключается в создании и реализации программы синтетического подхода к теоремам сложения в более высоких родах. Реализация данной программы заключается в исследовании далеко идущих связей между динамикой интегрируемых биллиардов и геометрией пучков квадрик и гиперэллиптических якобианов. В частности, для произвольного числа измерений решена проблема аналитического описания траекторий периодических биллиардов в квадриках. Данная книга содержит как независимые введения в пучки квадрик, алгебраические кривые и биллиарды, так и исторический обзор данной темы.
Книга будет полезна специалистам по математике и механике, студентам и аспирантам.
Содержание
Глава 1. Введение в поризмы Понселе
Глава 2. Биллиарды: первые примеры
2.1. Введение в биллиарды
2.2. Треугольные биллиарды
2.3. Биллиарды внутри эллипса
2.4. Периодические орбиты биллиардов и теорема Биркгофа
2.5. Бицентрические многоугольники
2.6. Теорема Понселе
Глава 3. Гиперэллиптические кривые и их якобианы
3.1. Римановы поверхности
3.2. Алгебраические кривые
3.3. Теорема нормализации
3.4. Еще о свойствах римановых поверхностей
3.5. Комплексные торы и эллиптические функции
3.6. Гиперэллиптические кривые
3.7. Теорема Абеля
3.8. Точки конечного порядка на якобиане гиперэллиптической кривой
Глава 4. Проективная геометрия
4.1. Введение
4.2. Коники и квадрики
4.3. Проективная структура на коническом сечении
4.4. Пучки коник
4.5. Квадрики и полярность
4.6. Полярность и пучки коник
4.7. Инварианты пар коник
4.8. Двойственность. Полные конические сечения
4.9. Конфокальные коники
4.10. Квадрики, их пучки и линейные подмножества
4.11. Конфокальные квадрики
4.12. Соответствия типа 2-2
Глава 5. Теорема Понселе и условие Кэйли
5.1. Полная теорема Понселе
5.2. Условие Кэйли
5.3. Еще одно доказательство теоремы Понселе и условия Кэйли
5.4. Одно обобщение теоремы Понселе
5.5. Теорема Понселе на поверхностях Лиувилля
5.6. Теорема Понселе в проективном пространстве
5.7. Виртуальные траектории движения в биллиарде
5.8. К обобщению доказательства условия Кэйли
Глава 6. Кривые Понселе - Дарбу и теорема Зибека - Мардена
6.1. Введение
6.2. Изофокальные деформации
6.3. n-вращения, столкновения и разложения кривых Понселе - Дарбу
Глава 7. Эллипсоидальные биллиарды и их периодические траектории
7.1. Периодические траектории внутри k конфокальных квадрик в евклидовом пространстве
7.2. Эллипсоидальный биллиард как система с дискретным временем
7.3. Теорема Понселе и условие Кэйли в пространстве Лобачевского
7.4. Топологические свойства биллиарда внутри эллипса
7.5. Интегрируемые потенциальные возмущения биллиарда внутри эллипса
Глава 8. Закон биллиарда и гиперэллиптические кривые
8.1. Обобщенная кривая Кэйли
8.2. Закон биллиарда и алгебраическая структура на многообразии Al
8.3. s-слабые траектории Понселе
8.4. О многомерных обобщениях теоремы Вейра и теоремы Понселе типа Гриффитса - Харриса для пространства
8.5. Решетка Понселе - Дарбу и многомерные обобщения
Глава 9. Теорема Понселе и цепные дроби
9.1. Гиперэллиптические цепные дроби типа Альфана
9.2. Геометрические реализации динамики 2↔ g + 1
Глава 10. Квантовое уравнение Янга - Бакстера и соответствия типа (2–2)
10.1. Доказательство теоремы Эйлера. R-матрица Бакстера
10.2. Квантовая ферромагнитная модель Гейзенберга
10.3. Вакуумные векторы и вакуумные кривые
10.4. Алгебраический анзац Бете и вакуумные векторы
10.5. Решения ранга 2 в случае (4 × 4)
10.6. Заключение
Литература
Предметный указатель
