Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей

Аннотация

В книге излагается дифференциальная геометрия кривых и поверхностей начиная с базовых понятий вплоть до тонких теорем о глобальном строении.
Особенностью книги является ознакомление читателя с основными концепциями современной римановой геометрии на примере дифференциальной геометрии поверхностей. Изложение построено на многочисленных конкретных примерах, иллюстрирующих геометрические идеи.
Будет полезна как для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, так и для научных работников, желающих познакомиться с основными идеями дифференциальной геометрии.

Содержание

Предисловие
Некоторые замечания об использовании этой книги

1. Кривые
Введение
Параметризованные кривые
Регулярные кривые; длина дуги
Векторное произведение в R3
Локальная теория кривых, параметризованных длиной дуги
Локальный канонический вид
Глобальные свойства плоских кривых

2. Регулярные поверхности
Введение
Регулярные поверхности; прообразы регулярных значений
Замена параметров; дифференцируемые функции на поверхностях
Касательная плоскость; дифференциал отображения
Первая основная форма; площадь
Ориентация поверхностей
Характеризация компактных ориентированных поверхностей
Геометрическое определение площади
Приложение: краткий обзор понятий непрерывности и дифференцируемости

3. Геометрия гауссова отображения
Введение
Определение гауссова отображения и его основные свойства
Гауссово отображение в локальных координатах
Векторные поля
Линейчатые поверхности и минимальные поверхности
Приложение: cамосопряжённые линейные отображения и квадратичные формы

4. Внутренняя геометрия поверхностей
Введение
Изометрии; конформные отображения
Теорема Гаусса и условия совместности
Параллельный перенос; геодезические
Теорема Гаусса-Бонне и её приложения
Экспоненциальное отображение. Геодезические полярные координаты
Дополнительные свойства геодезических. Выпуклые окрестности
Приложение: доказательства основных теорем локальной теории кривых и поверхностей

5. Глобальная дифференциальная геометрия
Введение
Неизгибаемость сферы
Полные поверхности. Теорема Хопфа-Ринова
Первая и вторая вариации длины дуги; теорема Бонне
Поля Якоби и сопряжённые точки
Накрывающие поверхности; теорема Адамара
Глобальные теоремы о кривых; теорема Фэри-Милнора
Поверхности нулевой кривизны
Теоремы Якоби
Абстрактные поверхности; дальнейшие обобщения
Теорема Гильберта
Приложение: топология точечных множеств евклидовых пространств

Библиография и комментарии
Указания и ответы к некоторым упражнениям
Указатель