Лекции по динамическим системам. Гамильтоновы векторные поля и симплектические емкости

Аннотация

Книга представляет собой вводный курс по динамическим системам, составленный автором на основе прочитанных им лекций. Большое внимание в лекциях уделяется явлению неустойчивости, а также связи динамики с геометрией фазового пространства. В частности рассматривается класс глобальных симплектических инвариантов — так называемые симплектические емкости. В последней главе демонстрируется, как этот инструмент используется для поиска периодических решений на компактных регулярных поверхностях энергии.
В книге представлено большое количество ссылок. Предназначена для студентов, преподавателей и всех читателей, интересующихся математикой.

Содержание

I. Введение
I.1. Задача N тел в небесной механике 
I.2. Отображения как динамические системы 
I.3. Транзитивные динамические системы 
I.4. Структурная устойчивость 
I.5. Отображения, сохраняющие меру, и эргодическая теорема 

II. Инвариантные многообразия гиперболических неподвижных точек 
II.1. Гиперболические неподвижные точки 
II.2. Локальные инвариантные многообразия 
II.3. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия 

III. Гиперболические множества 
III.1. Определение гиперболического множества 
III.2. Лемма о тени 
III.3. Структура орбит вблизи гомоклинической орбиты, хаос
III.4. Существование трансверсальных гомоклинических точек 
III.5. Автоморфизмы тора 
III.6. Инвариантные многообразия ∧
III.7. Структурная устойчивостьна гиперболических множествах 

IV. Градиентно-подобные потоки
IV.1. Поток векторного поля, напоминание из ОДУ 
IV.2. Предельные множества, аттракторы и функции Ляпунова 
IV.3. Градиентные системы 
IV.4. Градиентные системы на многообразиях и теория Морса 

V. Гамильтоновы векторные поля и симплектические диффеоморфизмы
V.1. Симплектические векторные пространства 
V.2. Внешнее дифференцирование d 
V.3. Производная Ли LX форм 
V.4. Производная Ли LX векторных полей 
V.5. Коммутирующие векторные поля 
V.6. Внешнее дифференцирование d на многообразиях 
V.7. Симплектические многообразия 
V.8. Симплектические отображения 
V.9. Производящие функции симплектических отображений в R2n 
V.10. Интегрируемые системы, переменные действие-угол 

VI. Вопросы, явления, резуль таты
VI.1. Геометрические вопросы 
VI.2. Аппроксимация сохраняющих меру диффеоморфизмов 
VI.3. Динамические вопросы 
VI.4. Связьмежду геометрией и Гамильтоновой динамикой 

VII. Симплектические инварианты
VII.1. Симплектические емкости и первые приложения 
VII.2. Емкость Хофера-Цендера c0 
VII.3. Принципы минимакса 
VII.4. Функциональный анализ функционала действия 
VII.5. Существование критической точки Φ 

VIII. Приложения емкости c0 к Гамильтоновым системам
VIII.1. Глобальные периодические решения на заданных поверхностях энергии 
VIII.2. Гиперповерхности контактного типа 
VIII.3. Примеры из классической механики 
VIII.4. Метод продолжения Пуанкаре 
VIII.5. Трансверсальные сечения на поверхностях энергии 

Литература