Задачи динамики твердых тел с вибрирующим подвесом

Аннотация

В монографии излагаются результаты исследования ряда задач динамики тяжелых твердых тел в предположении, что одна из точек (точка подвеса)совершает заданные периодические движения. Рассматриваются как случаи высокочастотных вибраций точки подвеса, так и колебания с произвольной частотой и малой или произвольной амплитудой. Изучаются плоский математический маятник, система двух физических маятников, волчок Лагранжа и твердое тело с произвольной геометрией масс. Используются известные методы исследования гамильтоновых систем с привлечением компьютерных систем аналитических вычислений.
Книга может бытьпо лезна специалистам в области теоретической и прикладной механики, теории нелинейных колебаний, а также аспирантам соответствующих механико-математических специальностей.

Содержание

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ЧАСТЬ I. Методы исследования гамильтоновых систем
Глава 1. Устойчивость гамильтоновых систем
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Устойчивость в линейном приближении
2.1. Автономный случай
2.2. Неавтономный случай
2.3. Области параметрического резонанса
§ 3. Нелинейный анализ устойчивости
3.1. Неавтономные системы с одной степенью свободы
3.1.1. Исследование устойчивости
3.1.2. Теорема Мозера об инвариантных кривых
3.2. Автономные системы с двумя степенями свободы
3.3. Неавтономная система с двумя степенями свободы
3.3.1. Устойчивость для большинства начальных условий
3.3.2. Формальная устойчивость
3.3.3. Случаи резонансов третьего и четвертого порядков
Глава 2. О методах нормализации
§ 1. Преобразование Биркгофа
§ 2. Метод Депри-Хори
2.1. Алгоритм метода Депри-Хори
2.2. Пример: нормализация гамильтониана автономной системы с одной степенью свободы

ЧАСТЬ II. Некоторые задачи о движении математического маятника с вибрирующей точкой подвеса
Глава 3. О движениях математического маятника с неподвижной точкой подвеса
Глава 4. Движения маятника при горизонтальных колебаниях точки подвеса
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Расщепление сепаратрис и неинтегрируемость уравнения (4.1)
§ 3. Периодическое движение, рождающееся из устойчивого положения равновесия. Случай отсутствия резонанса в вынужденных колебаниях
3.1. Устойчивость в первом приближении
3.2. Нелинейный анализ устойчивости
§ 4. Движения маятника в окрестности нижнего положения при резонансе в вынужденных колебаниях
4.1. Преобразование гамильтониана
4.2. Движения модель ной системы
4.2.1. Положения равновесия
4.2.2. Фазовые портреты
4.2.3. Интегрирование модельной системы
4.2.4. Проверка невырожденности модельного гамильтониана
4.3. О нелинейных колебаниях полной системы. Резонансные периодические движения маятника
§ 5. Решения, рождающиеся из неустойчивых положений равновесия
§ 6. Периодические движения, рождающиеся из колебаний и вращений, и их устойчивость
6.1. Область колебаний
6.2. Область вращений
Глава 5. Высокочастотные периодические движения маятника при быстрых вибрациях точки подвеса
§ 1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана
§ 2. Положения равновесия приближенной системы
§ 3. Высокочастотные периодические движения маятника
3.1. Существование периодических движений
3.2. Исследование устойчивости периодических движений маятника

ЧАСТЬ III. Динамика двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса
Глава 6. О движениях двойного маятника в случае быстрых вертикальных вибраций одной из его точек
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Преобразование гамильтониана
§ 3. Условия устойчивости в линейном приближении
3.1. Случай β _= 0, γ _= 0
3.2. Случаи β = 0 и γ = 0
3.3. Примеры
§ 4. Исследование движений в случае системы двух стержней
4.1. Нелинейный анализ устойчивости положений равновесия на вертикали
4.2. О существовании и устойчивости других периодических
движений
Глава 7. Об устойчивости относительных равновесий на вертикали двойного маятника в случае произвольных амплитуды и частоты вибраций
§ 1. Постановка задачи. Гамильтонианы возмущенного движения
§ 2. Линейная задача
2.1. Случай 0 _ β _ 1
2.2. Случай произвольных значений параметра β
2.3. Значения характеристических показателей в областях устойчивости
§ 3. Нелинейный анализ устойчивости
3.1. Случаи резонансов четвертого порядка
3.2. Исследование устойчивости в точках кратных резонансов четвертого порядка
3.3. Нерезонансный случай

ЧАСТЬ IV. Динамика волчка Лагранжа с неподвижной и вибрирующей точкой подвеса
Глава 8. Динамика волчка Лагранжа с неподвижной точкой
§ 1. Уравнения движения
§ 2. Интегрирование уравнения (8.10)
§ 3. Геометрическая интерпретация для случая различных корней функции f(u)
§ 4. Регулярная прецессия волчка
§ 5. Случай a = b
§ 6. Случай a = −b
Глава 9. Уравнения движения волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса
Глава 10. Динамика волчка при колебаниях точки подвеса малой амплитуды
§ 1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана
§ 2. Нормализация невозмущенного гамильтониана. Проверка условия невырожденности
§ 3. Периодические движения волчка при резонансе в вынужденных колебаниях
3.1. Построение резонансных кривых
3.2. Нормализация возмущенного гамильтониана
3.3. Периодические движения волчка и их устойчивость
§ 4. Движения волчка при отсутствии резонанса в вынужденных колебаниях
4.1. Нерезонансные вынужденные колебания и их устойчивость
4.2. Случай параметрического резонанса
4.3. Резонанс треть его порядка
Глава 11. Высокочастотные периодические движения, близкие к регулярным прецессиям
§ 1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана
§ 2. Случай |α_| _= |β_|
2.1. Приближенная система и ее положения равновесия
2.2. О периодических решениях полной системы. Движения, близкие к регулярным прецессиям
2.3. Устойчивостьдвиж ений волчка, близких к регулярным прецессиям
§ 3. Случай α_ = β_
§ 4. Случай α_ = −β_
Глава 12. «Спящий» волчок Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Устойчивость влинейном приближении
§ 3. Анализ устойчивости в областях gn. Нерезонансный случай
§ 4. Устойчивостьна кривых резонанса четвертого порядка
§ 5. Исследование устойчивости на граничных кривых
§ 6. Сравнение с классическим результатом

ЧАСТЬ V. Некоторые задачи динамики твердого тела с произвольной геометрией масс при наличии вибраций точки подвеса
Глава 13. Приближенные уравнения движения твердого тела
с вибрирующей точкой подвеса
Глава 14. Исследование устойчивости относительных равновесий твердого тела с вибрирующей точкой подвеса
§ 1. Относительные равновесия на вертикали и их устойчивость
§ 2. Боковые равновесия: центр масс тела в главной плоскости инерции
2.1. Существование относительных равновесий
2.2. Исследование устойчивости
§ 3. Боковые равновесия: общий случай геометрии масс тела
3.1. Существование относительных равновесий
3.2. Исследование устойчивости
Глава 15. Исследование устойчивости перманентных вращений тела вокруг главной оси, содержащей центр масс
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Линейный анализ устойчивости
2.1. Случай s = −1 (центр масс тела ниже точки подвеса)
2.2. Случай s = 1 (центр масс тела выше точки подвеса)
§ 3. Нелинейный анализ устойчивости
§ 4. Некоторые частные случаи
4.1. Случай динамической симметрии тела
4.2. Случай Бобылева -Стеклова (α = 2, 2/3 < β < 2)
Глава 16. Исследование устойчивости перманентных вращений тела, обусловленных быстрыми вибрациями
§ 1. Два типа перманентных вращений тела, обусловленных быстрыми вибрациями
1.1. Коническое движение несимметричного тела
1.2. Перманентное вращение вокруг главной оси, не содержащей центр масс тела
§ 2. Неустойчивость конического движения несимметричного тела
§ 3. Исследование устойчивости перманентного вращения вокруг главной оси инерции
3.1. Достаточные условия устойчивости
3.2. Необходимые условия устойчивости
3.3. Нелинейный анализ устойчивости
3.4. Результаты нелинейного анализа
3.4.1. Случай α = β (ось вращения тела совпадает с осью динамической симметрии)
3.4.2. Случай α = 1 (центр масс лежит в главной плоскости инерции, содержащей ось динамической
симметрии тела)
3.4.3. Случай β = 1 (центр масс находится в экваториальной плоскости инерции тела)
3.4.4. Случай α = ½ (1/3 _ β _ 1)
3.4.5. Случай α = 2 (½ _ β _ 2)

Список литературы