Аннотация
Теория математических биллиардов описывает движение материальной точки в области с упругим отражением от границы или,что то же самое, поведение лучей света в области с зеркальной границей. В книге отражены связи теории биллиардов с дифференциальной геометрией, классической механикой и геометрической оптикой. Кроме того, подробно изучаются вариационные принципы биллиардной динамики, симплектическая геометрия лучей света и интегральная геометрия, существование и несуществование каустик, оптические свойства кривых и поверхностей второго порядка, вполне интегрируемые биллиарды, периодические биллиардные траектории, биллиарды в многоугольниках, механизмы возникновения хаоса, а также менее известные внешние биллиарды.
Особенностью работы, основанной на специальном курсе для студентов, является большое количество отступлений: эволюты и эвольвенты, теорема о четырех вершинах, математическая теория радуги, распределение первых цифр в различных последовательностях, теория Морса, теорема Пуанкаре о возвращении, четвертая проблема Гильберта, теорема Понселе и многое другое. Книга богато иллюстрирована. В дополнении, написанном для русского издания, освещены результаты самого последнего времени.
Содержание
Предисловие
ГЛАВА 1. Предпосылки: механика и оптика
1.1. Отступление. Вычисление Π с помощью биллиарда
1.2. Отступление. Конфигурационные пространства
1.3. Отступление. Принцип Гюйгенса, финслерова метрика, финслеровы биллиарды
1.4. Отступление. Брахистохрона
ГЛАВА 2. Биллиард в круге и квадрате
2.1. Отступление. Распределение первых цифр и закон Бенфорда
2.2. Отступление. Последовательности Штурма
ГЛАВА 3. Биллиардное отображение и интегральная геометрия
3.1. Отступление. Четвертая проблема Гильберта
3.2. Отступление. Симплектическая редукция
ГЛАВА 4. Биллиарды внутри конических сечений и квадратичных поверхностей
4.1. Отступление. Поризм Понселе
4.2. Отступление. Полная интегрируемость, теорема Арнольда - Лиувилля
ГЛАВА 5. Существование и несуществование каустик
5.1. Отступление. Эволюты и эвольвенты
5.2. Отступление. Математическая теория радуги
5.3. Отступление. Теоремы о четырех вершинах и Штурма - Гурвица
5.4. Отступление. Проективная плоскость
ГЛАВА 6. Периодические траектории
6.1. Отступление. Геометрическая теорема Пуанкаре
6.2. Отступление. Периодические орбиты Биркгофа и теория Обри - Мазера
6.3. Отступление. Теория Морса
ГЛАВА 7. Биллиарды в многоугольниках
7.1. Отступление. Теорема Пуанкаре о возвращении
7.2. Отступление. Замкнутые геодезические на поверхностях многогранника, кривизна и теорема Гаусса - Бонне
ГЛАВА 8. Хаотические биллиарды
ГЛАВА 9. Двойственные биллиарды
Дополнение
Литература
Дополнительная литература
Предметный указатель