Геометрия и биллиарды

Аннотация

Теория математических биллиардов описывает движение материальной точки в области с упругим отражением от границы или,что то же самое, поведение лучей света в области с зеркальной границей. В книге отражены связи теории биллиардов с дифференциальной геометрией, классической механикой и геометрической оптикой. Кроме того, подробно изучаются вариационные принципы биллиардной динамики, симплектическая геометрия лучей света и интегральная геометрия, существование и несуществование каустик, оптические свойства кривых и поверхностей второго порядка, вполне интегрируемые биллиарды, периодические биллиардные траектории, биллиарды в многоугольниках, механизмы возникновения хаоса, а также менее известные внешние биллиарды.
Особенностью работы, основанной на специальном курсе для студентов, является большое количество отступлений: эволюты и эвольвенты, теорема о четырех вершинах, математическая теория радуги, распределение первых цифр в различных последовательностях, теория Морса, теорема Пуанкаре о возвращении, четвертая проблема Гильберта, теорема Понселе и многое другое. Книга богато иллюстрирована. В дополнении, написанном для русского издания, освещены результаты самого последнего времени.

Содержание

Предисловие 

ГЛАВА 1. Предпосылки: механика и оптика 
1.1. Отступление. Вычисление Π с помощью биллиарда
1.2. Отступление. Конфигурационные пространства 
1.3. Отступление. Принцип Гюйгенса, финслерова метрика, финслеровы биллиарды 
1.4. Отступление. Брахистохрона 

ГЛАВА 2. Биллиард в круге и квадрате 
2.1. Отступление. Распределение первых цифр и закон Бенфорда 
2.2. Отступление. Последовательности Штурма

ГЛАВА 3. Биллиардное отображение и интегральная геометрия 
3.1. Отступление. Четвертая проблема Гильберта 
3.2. Отступление. Симплектическая редукция

ГЛАВА 4. Биллиарды внутри конических сечений и квадратичных поверхностей 
4.1. Отступление. Поризм Понселе 
4.2. Отступление. Полная интегрируемость, теорема Арнольда - Лиувилля

ГЛАВА 5. Существование и несуществование каустик 
5.1. Отступление. Эволюты и эвольвенты 
5.2. Отступление. Математическая теория радуги 
5.3. Отступление. Теоремы о четырех вершинах и Штурма - Гурвица 
5.4. Отступление. Проективная плоскость 

ГЛАВА 6. Периодические траектории 
6.1. Отступление. Геометрическая теорема Пуанкаре
6.2. Отступление. Периодические орбиты Биркгофа и теория Обри - Мазера 
6.3. Отступление. Теория Морса 

ГЛАВА 7. Биллиарды в многоугольниках
7.1. Отступление. Теорема Пуанкаре о возвращении 
7.2. Отступление. Замкнутые геодезические на поверхностях многогранника, кривизна и теорема Гаусса - Бонне 

ГЛАВА 8. Хаотические биллиарды 

ГЛАВА 9. Двойственные биллиарды

Дополнение
Литература 
Дополнительная литература 
Предметный указатель