Математические модели в биологии: учебное пособие. Изд. третье, доп.

Учебное пособие по курсу «Математические модели в биологии» написано на основании многолетнего опыта ведения семинаров и компьютерного практикума для студентов второго курса биологического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Материал представлен в форме семинаров, в которых излагаются теоретические положения и методы решения задач с подробным разбором примеров. Предлагаются задачи, которые могут быть использованы как для домашних заданий, так и для контрольных работ. Среди основных тем семинаров можно выделить анализ базовых моделей роста популяций и взаимодействия видов, триггерных и колебательных биологических процессов. Большое внимание уделено построению фазовых и кинетических портретов систем.

Пособие предназначено для преподавателей курса математического моделирования в биологии, а также студентов и аспирантов биологических специальностей, изучающих курс математического моделирования. Пособие также может быть использовано при преподавании курса математических моделей в экологии.

Пособие рекомендовано к опубликованию решением Ученого и Учебно- методического советов биологического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Предисловие

Семинар 1. Дифференциальное уравнение первого порядка
Фазовое пространство. Стационарное состояние
Исследование устойчивости стационарного состояния методом Ляпунова
Графический метод определения устойчивости стационарного состояния
Задачи к семинару 1

Семинар 2. Модели роста популяций
Непрерывная модель экспоненциального роста в неограниченной среде
Модель логистического роста
Модель популяции с нижней границей критической численности
Задачи к семинару 2

Семинар 3. Дискретное уравнение первого порядка
Устойчивость положения равновесия
Дискретное логистическое уравнение
Лестница Ламерея
Задачи к семинару 3

Семинар 4. Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
Линеаризация системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Характеристическое уравнение
Типы особых точек и бифуркационная диаграмма
Метод изоклин
Уравнения сепаратрис
Задачи к семинару 4
4 Математические модели в биологии

Семинар 5. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений
Модель Лотки
Модель Вольтерры
Задачи к семинару 5

Семинар 6. Мультистационарные системы
Модель конкуренции видов
Генетический триггер Жакоба и Моно
Задачи к семинару 6

Семинар 7. Иерархия времен в биологических системах
Теорема Тихонова
Пример модели с быстрыми и медленными переменными.
Уравнение Михаэлиса-Ментен
Задачи к семинару 7

Семинар 8. Предельные циклы
Рождение предельного цикла. Бифуркация
Андронова-Хопфа
Мягкое возбуждение автоколебаний
Жесткое возбуждение автоколебаний
Задачи к семинару 8

Семинар 9. Линейная система двух уравнений «реакция-диффузия»
Неустойчивость Тьюринга
Понятия активатора и ингибитора
Соотношение коэффициентов диффузии, при котором возникают диссипативные структуры
Задачи к семинару 9

Семинар 10. Стехиометрические модели
Стехиометрические (потоковые) модели
Задача линейного программирования
Задачи к семинару 10

Приложение
Список литературы