Основы теории меры. Том 1. - Изд. 3-е, испр. и доп.

Аннотация

Дается систематическое изложение современной теории меры, включающее стандартный учебный университетский курс теории меры и интеграла в соответствии с традициями механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, более специальный материал, не входящий в обязательный курс, но необходимый для чтения научной литературы и ведения исследовательской работы, а также обширную справочную информацию по многообразным вопросам теории меры и ее связям с другими областями. Приведено более 500 задач с решениями или указаниями и даны подробные историкобиблиографические комментарии.

Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников физико-математических специальностей. В третье издание внесено значительное число исправлений и уточнений, добавлено много новых результатов и задач, существенно расширены указания к задачам и библиография.

Библ. 1241.

Содержание

Предисловие

Глава 1. Построение и продолжение мер
1.1. Измерение длин: вводные замечания
1.2. Алгебры и σ-алгебры
1.3. Аддитивность и счетная аддитивность мер
1.4. Компактные классы и счетная аддитивность
1.5. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
1.6. Бесконечные и σ-конечные меры
1.7. Мера Лебега
1.8. Меры Лебега — Стилтьеса
1.9. Монотонные и σ-аддитивные классы множеств
1.10. A-операция и суслинские множества
1.11. Внешние меры Каратеодори
1.12. Дополнения и задачи
Операции над множествами (75). Компактные классы (78). Метрическая булева алгебра (81). Измеримая оболочка, измеримое ядро и внутренняя мера (84). Продолжения мер (87). Некоторые интересные множества (90). Аддитивные не счетно-аддитивные меры (96). Абстрактные внутренние меры (99). Меры на решетках множеств (105). Теоретико-множественные проблемы теории меры (107). Инвариантные продолжения меры Лебега (111). Разложение Уитни (112). Задачи (113)

Глава 2. Интеграл Лебега
2.1. Измеримые функции
2.2. Сходимость по мере и почти всюду
2.3. Интеграл для простых функций
2.4. Общее определение интеграла Лебега
2.5. Основные свойства интеграла
2.6. Интегрирование по бесконечным мерам
2.7. Полнота пространства L1
2.8. Предельный переход под знаком интеграла
2.9. Признаки интегрируемости
2.10. Связь с интегралом Римана
2.11. Неравенства Г¨eльдера и Минковского
2.12. Дополнения и задачи
Порожденная классом функций σ-алгебра (184). Борелевские отображения в IRn (186). Функциональная теорема о монотонных классах (188). Бэровские классы функций (189). Теоремы о среднем (191). Интеграл Лебега — Стилтьеса (194). Интегральные неравенства (194). Задачи (197).

Глава 3. Операции надмер ами и функциями
3.1. Разложение знакопеременных мер
3.2. Теорема Радона -Никодима
3.3. Произведение пространств с мерами
3.4. Теорема Фубини
3.5. Бесконечные произведения мер
3.6. Образ меры при отображении
3.7. Замена переменных в IRn
3.8. Преобразование Фурье
3.9. Свертка
3.10. Дополнения и задачи
О теореме Фубини и произведениях σ-алгебр (259).Симметризация Штейнера (262). Меры Хаусдорфа (265). Разложение функций множества (269). Свойства положительно определенных функций (271). Неравенство Брунна -Минковского и его обобщения (274). Смешанные объемы (278). Преобразование Радона (279). Задачи (280).

Глава 4. Пространства Lp и пространства мер
4.1. Пространства Lp
4.2. Приближение в Lp
4.3. Гильбертово пространство L2
4.4. Двойственность пространств Lp
4.5. Равномерная интегрируемость
4.6. Сходимость мер
4.7. Дополнения и задачи
Структурные свойства Lp и пространства мер (338). Слабая топология в Lp (341). Равномерная выпуклость (345). Равномерная интегрируемость и слабая компактность в L1 (347). Топология сходимости мер на множествах (353). Компактность по норме и приближение в Lp (357). Некоторые условия сходимости в Lp (361). Интеграл Хеллингера и расстояние Хеллингера (363). Аддитивные функции множества (366). Задачи (367).

Глава 5. Связь интеграла и производной
5.1. Дифференцируемость функций на прямой
5.2. Функции ограниченной вариации
5.3. Абсолютно непрерывные функции
5.4. Формула Ньютона -Лейбница
5.5. Теоремы о покрытиях
5.6. Максимальная функция
5.7. Интеграл Хенстока — Курцвайля
5.8. Дополнения и задачи
Теоремы о покрытиях (434). Точки плотности и точки Лебега (439). Дифференцирование мер на IRn (440). Аппроксимативная непрерывность (442). Производные числа и аппроксимативная дифференцируемость (443). Класс BMO (446). Весовые неравенства (447). Меры со свойством удвоения (448). Производная в смысле Соболева (450). Формулы площадей и коплощадей и замена переменных (453). Поверхностные меры (457). Разложение Кальдерона — Зигмунда (459). Задачи (460). Комментарии 485

Список литературы
Предметный указатель