Лекции по динамическим системам. Гамильтоновы векторные поля и симплектические емкости

Лекции по динамическим системам. Гамильтоновы векторные поля и симплектические емкости
Цендер Э. Серия Математика и механика ISBN 978-5-4344-0232-3 Издательство «ИКИ» 2015 г.
Переплет, 420 стр.
Формат 60*84 1/16
Вес  810 г

Аннотация

Книга представляет собой вводный курс по динамическим системам, составленный автором на основе прочитанных им лекций. Большое внимание в лекциях уделяется явлению неустойчивости, а также связи динамики с геометрией фазового пространства. В частности рассматривается класс глобальных симплектических инвариантов — так называемые симплектические емкости. В последней главе демонстрируется, как этот инструмент используется для поиска периодических решений на компактных регулярных поверхностях энергии.
В книге представлено большое количество ссылок. Предназначена для студентов, преподавателей и всех читателей, интересующихся математикой.


Содержание

I. Введение
I.1. Задача N тел в небесной механике
I.2. Отображения как динамические системы
I.3. Транзитивные динамические системы
I.4. Структурная устойчивость
I.5. Отображения, сохраняющие меру, и эргодическая теорема

II. Инвариантные многообразия гиперболических неподвижных точек
II.1. Гиперболические неподвижные точки
II.2. Локальные инвариантные многообразия
II.3. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия

III. Гиперболические множества
III.1. Определение гиперболического множества
III.2. Лемма о тени
III.3. Структура орбит вблизи гомоклинической орбиты, хаос
III.4. Существование трансверсальных гомоклинических точек
III.5. Автоморфизмы тора
III.6. Инвариантные многообразия ∧
III.7. Структурная устойчивостьна гиперболических множествах

IV. Градиентно-подобные потоки
IV.1. Поток векторного поля, напоминание из ОДУ
IV.2. Предельные множества, аттракторы и функции Ляпунова
IV.3. Градиентные системы
IV.4. Градиентные системы на многообразиях и теория Морса

V. Гамильтоновы векторные поля и симплектические диффеоморфизмы
V.1. Симплектические векторные пространства
V.2. Внешнее дифференцирование d
V.3. Производная Ли LX форм
V.4. Производная Ли LX векторных полей
V.5. Коммутирующие векторные поля
V.6. Внешнее дифференцирование d на многообразиях
V.7. Симплектические многообразия
V.8. Симплектические отображения
V.9. Производящие функции симплектических отображений в R2n
V.10. Интегрируемые системы, переменные действие-угол

VI. Вопросы, явления, резуль таты
VI.1. Геометрические вопросы
VI.2. Аппроксимация сохраняющих меру диффеоморфизмов
VI.3. Динамические вопросы
VI.4. Связьмежду геометрией и Гамильтоновой динамикой

VII. Симплектические инварианты
VII.1. Симплектические емкости и первые приложения
VII.2. Емкость Хофера-Цендера c0
VII.3. Принципы минимакса
VII.4. Функциональный анализ функционала действия
VII.5. Существование критической точки Φ

VIII. Приложения емкости c0 к Гамильтоновым системам
VIII.1. Глобальные периодические решения на заданных поверхностях энергии
VIII.2. Гиперповерхности контактного типа
VIII.3. Примеры из классической механики
VIII.4. Метод продолжения Пуанкаре
VIII.5. Трансверсальные сечения на поверхностях энергии

Литература