Линейная алгебра и геометрия

Книга представляет собой курс линейной алгебры и геометрии, основанный на лекциях, которые на протяжении многих лет читались одним из авторов на механико-математическом факультете Московского государственного университета. Изложение предмета начинается с теории линейных уравнений и матриц и далее ведется на языке векторных пространств. В книге также изложена теория аффинных и проективных пространств. Кроме того, включены некоторые темы, естественно примыкающие к линейной алгебре, но обычно в таких курсах не рассматриваемые: внешние алгебры, геометрия Лобачевского, топологические свойства проективных пространств, теория квадрик в многомерных аффинных и проективных пространствах, разложения конечных абелевых групп и конечнопорожденных периодических модулей (аналогичные теореме о жордановой нормальной форме линейного преобразования). Изложение сопровождается примерами, иллюстрирующими применение изучаемой теории. Рассматриваются ее связи с другими разделами математики, включая теорию дифференциальных уравнений, дифференциальную геометрию и механику. Книга рассчитана на студентов и преподавателей математических и физико-математических специальностей.

Предисловие ко второму изданию

Предисловие к первому изданию

Предварительные сведения
0.1 Множества и отображения
0.2 Некоторые топологические понятия

1 Линейные уравнения
1.1 Линейные уравнения и функции
1.2 Метод Гаусса
1.3 ∗ Примеры

2 Матрицы и определители
2.1 Определители второго и третьего порядков
2.2 Определители произвольного порядка
2.3 Характеристика определителя его свойствами
2.4 Разложение определителя по столбцу
2.5 Правило Крамера
2.6 Перестановки, симметрические и антисимметрические функции
2.7 Полное развертывание определителя
2.8 Ранг матрицы
2.9 Операции над матрицами
2.10 Обратная матрица

3 Векторные пространства
3.1 Определение векторного пространства
3.2 Размерность и базис
3.3 Линейные преобразования векторных пространств
3.4 Замена координат
3.5 Изоморфизм векторных пространств
3.6 Ранг линейного преобразования
3.7 Сопряженное пространство
3.8 Формы и многочлены от векторов

4 Линейные преобразования пространства в себя
4.1 Собственные векторы и инвариантные подпространства
4.2 Комплексные и вещественные пространства
4.3 Комплексификация
4.4 Ориентация вещественного пространства

5 Жорданова нормальная форма
5.1 Корневые векторы и циклические подпространства
5.2 Жорданова нормальная форма (разложение)
5.3 Жорданова нормальная форма (единственность)
5.4 Вещественные векторные пространства
5.5 ∗ Приложения

6 Квадратичные и билинейные формы
6.1 Основные определения
6.2 Приведение к каноническому виду
6.3 Комплексные, вещественные и эрмитовы формы

7 Евклидовы пространства
7.1 Определение евклидова пространства
7.2 Ортогональные преобразования
7.3 ∗ Ориентация евклидова пространства
7.4 ∗ Примеры
7.5 Симметрические преобразования
7.6 ∗ Приложения к механике и геометрии
7.7 Псевдоевклидовы пространства
7.8 Лоренцевы преобразования

8 Аффинные пространства
8.1 Определение аффинного пространства
8.2 Аффинные подпространства
8.3 Аффинные преобразования
8.4 Евклидовы аффинные пространства и движения

9 Проективные пространства
9.1 Определение проективного пространства
9.2 Проективные преобразования
9.3 Двойное отношение
9.4 ∗ Топологические свойства проективных пространств

10 Внешнее произведение и внешняя алгебра
10.1 Плюккеровы координаты подпространства
10.2 Соотношения Плюккера и грассманианы
10.3 Внешнее произведение векторов
10.4 ∗ Внешняя алгебра
10.5 ∗ Приложения

11 Квадрики
11.1 Квадрики в проективном пространстве
11.2 Квадрики в комплексном проективном пространстве
11.3 Изотропные подпространства
11.4 Квадрики в вещественном проективном пространстве
11.5 Квадрики в вещественном аффинном пространстве
11.6 Квадрики в аффинном евклидовом пространстве
11.7 ∗ Квадрики на вещественной плоскости

12 Геометрия Лобачевского
12.1 ∗ ПространствоЛобачевского
12.2 ∗ Аксиомы геометрии на плоскости
12.3 ∗ Некоторые формулы геометрии Лобачевского

13 Группы, кольца, модули
13.1 Группы и гомоморфизмы
13.2 Разложение конечных абелевых групп
13.3 Единственность разложения
13.4∗ Конечнопорожденные периодические модули над евклидовым кольцом

14 Элементы теории представлений
14.1 Основные понятия теории представлений
14.2 Представления конечных групп
14.3 Неприводимые представления
14.4 Представления коммутативных групп

Историческая справка

Список литературы

Предметный указатель