Прикладные методы исследования нелинейных колебаний

Аннотация

Книга посвящена описанию приближенных методов моделирования прикладных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Книга состоит из двух частей. Первая часть посвящена описанию метода малого параметра Пуанкаре, метода Ляпунова и дополнительных сведений по обыкновенным дифференциальным уравнениям, теории размерности, различных способов введения малого параметра в уравнения моделей. Во второй части книги излагается метод усреднения в его классическом варианте с дополнениями в виде описания явных оценок точности приближения и в обобщенном варианте (усреднение с несколькими малыми параметрами). В монографии содержится большое число прикладных задач и примеров.
Для специалистов в области математического моделирования динамических систем, студентов старших курсов и аспирантов университетов.

Содержание

Предисловие

Часть I. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА

ГЛАВА 1. Метод фазовой плоскости
§ 1. Введение
§ 2. Метод фазовой плоскости
§ 3. Фазовые портреты линейного уравнения второго порядка

ГЛАВА 2. Сравнение решений в теории уравнений с малым параметром
§ 1. Асимптотический порядок малости функции одного малого параметра 
§ 2. Асимптотический порядок малости функции малого параметра и времени
§ 3. Асимптотический порядок малости функции двух малых параметров
§ 4. Калибровочные функции

ГЛАВА 3. Теорема Коши. Мажорантные функции
§ 1. Степенные ряды решений. Теорема Коши
§ 2. Мажорантные функции
§ 3. Уравнения возмущенного движения. Уравнения в вариациях Пуанкаре

ГЛАВА 4. Основы метода малого параметра
§ 1. Теорема Пуанкаре
§ 2. Вычисление коэффициентов ряда решений
§ 3. Секулярные члены. Неравномерность разложения
§ 4. Оценка точности в методе Пуанкаре

ГЛАВА 5. Размерности физических величин
§ 1. Основные понятия теории размерностей
§ 2. Формула размерности
§ 3. Π-теорема

ГЛАВА 6. Нормализованное обезразмеривание. Задание малых параметров
§ 1. Процедура нормализованного обезразмеривания
§ 2. Способы задания малых параметров в дифференциальных уравнениях
§ 3. Н ормализованное обезразмеривание задачи Стокса

ГЛАВА 7. Теория Флоке
§ 1. Решение линейного уравнения первого порядка с периодическим коэффициентом
§ 2. Система уравнений. Фундаментальная матрица решений. Определитель Вронского
§ 3. Мультипликаторы, характеристические показатели системы
§ 4. Аналитический вид решений системы уравнений
§ 5. Уравнения в вариациях Пуанкаре с переменными коэффициентами
§ 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

ГЛАВА 8. Построение периодических решений неавтономных систем в невырожденном случае
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Периодические решения неавтономных систем в невырожденном случае
§ 3. Квазистатические периодические решения
§ 4. Алгоритм построения периодического решения

ГЛАВА 9. Периодические решения автономных систем в невырожденном случае
§ 1. Условие существования периодических решений в невырожденном случае
§ 2. Алгоритм построения периодического решения

ГЛАВА 10. Периодические решения автономных систем в вырожденном случае
§ 1. Условия существования периодических решений при наличии интегралов
§ 2. Периодические орбитыПуанкаре первого рода
§ 3. Условия существования периодических решений в отсутствие интегралов и неизолированности невозмущенных решений
§ 4. Метод Линдштедта
§ 5. Эквивалентная линеаризация нелинейных уравнений
§ 6. Малые нелинейные колебания консервативной механической системы с одной степенью свободы

ГЛАВА 11. Системы Ляпунова
§ 1. Понятие системы Ляпунова
§ 2. Периодичность решений системы Ляпунова
§ 3. Вычисление периода
§ 4. ТеоремаЛяпунова о голоморфном интеграле
§ 5. Алгоритм построения периодических решений
§ 6. ТеоремаЛяпунова в многомерном случае

ГЛАВА 12. Нелинейные колебания маятника
§ 1. Колебания физического маятника
§ 2. Маятник с квадратичным трением

Часть II. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ

ГЛАВА 13. Метод Ван-дер-Поля
§ 1. Введение
§ 2. Метод Ван-дер-Поля
§ 3. Понятие предельного цикла, автоколебания

ГЛАВА 14. Метод усреднения для стандартных систем
§ 1. Стандартная форма системы дифференциальных уравнений
§ 2. Принцип усреднения
§ 3. Усреднение как метод выделения главных членов в рядах решений
§ 4. Основные свойства временных средних

ГЛАВА 15. Обоснование метода усреднения для систем в стандартной форме
§ 1. Предварительные условия
§ 2. Теорема Боголюбова
§ 3. Гипотеза Волосова

ГЛАВА 16. Высшие приближения метода усреднения
§ 1. Второе приближение метода усреднения
§ 2. Точность аппроксимации второго приближения метода усреднения
§ 3. Произвольное приближение. Ряды Крылова —Боголюбова
§ 4. Асимптотический ряд и формальное решение
§ 5. Асимптотичность рядов Крылова—Боголюбова
§ 6. Линейные колебания консервативной системы с малым трением в отсутствие резонансов

ГЛАВА 17. Принцип усреднения в многочастотных системах
§ 1. Понятие многочастотных систем
§ 2. Ряды Фурье
§ 3. Пространственное и временное средние. Принцип усреднения
§ 4. Теорема о среднем

ГЛАВА 18. Усреднение многочастотных систем в нерезонансном случае
§ 1. Замена переменных. Первое приближение метода усреднения
§ 2. Теоремы о точности аппроксимации в первом приближении метода усреднения
§ 3. Второе и последующие приближения метода усреднения

ГЛАВА 19. Резонанс
§ 1. Внешний резонанс
§ 2. Внутренний резонанс
§ 3. Параметрический резонанс в линейной системе
§ 4. Параметрический резонанс в нелинейной системе. Задача Ситникова

ГЛАВА 20. Усреднение многочастотных систем при резонансе
§ 1. Резонанс. Разрыв временного среднего
§ 2. Усреднение в случае постоянных частот
§ 3. Усреднение в случае частот, зависящих от медленных переменных

ГЛАВА 21. Плоские колебания спутника на эллиптической орбите
§ 1. Уравнение плоских колебаний спутника
§ 2. Исследование нерезонансных колебаний
§ 3. Колебания спутника при резонансе ω − 1 = 0
§ 4. Колебания спутника при резонансе 2ω − 1 = 0

ГЛАВА 22. Параметрический резонанс в уравнении Матье
§ 1. Уравнение Матье
§ 2. Параметрический резонанс 1:2

ГЛАВА 23. Усреднение в канонических системах
§ 1. Приведение системы к стандартному виду, усреднение
§ 2. Усреднение канонической системы с быстрыми фазами в нерезонансном случае
§ 3. Возмущенная задача двух тел

ГЛАВА 24. Метод усреднения в системе со многими малыми параметрами
§ 1. Усреднение стандартной системы
§ 2. Точность приближения. Обобщенная теорема Боголюбова
§ 3. Малые колебания груза под действием упругой силы и сил трения
§ 4. Маятник переменной длины на вибрирующем основании
§ 5. Редукции в уравнении Белецкого с двумя малыми параметрами
§ 6. Малые плоские резонансные колебания спутника
§ 7. О вращении Марса вокруг центра масс под действием притяжения Солнца,Юпитера и Земли

ПРИЛОЖЕНИЕ A. Свойства мажорантных неравенств

ПРИЛОЖЕНИЕ B. Фундаментальная матрица уравнений в вариациях задачи двух тел

ПРИЛОЖЕНИЕ C. Вычисление коэффициента¯h2

ПРИЛОЖЕНИЕ D. К теории центра

ПРИЛОЖЕНИЕ E. Некоторые понятия теории почти периодических функций

Литература