Проблемы топологической классификации многомерных систем Морса Смейла

Системы Морса — Смейла — это структурно устойчивые (грубые) динамические системы на многообразиях с неблуждающим множеством, состоящим из конечного числа орбит. Класс грубых систем был введен в классической работе А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина в 1937 году при изучении систем двух дифференциальных уравнений, заданных в ограниченной части плоскости. В том же году в работе Е. А. Леонтович-Андроновой и А. Г. Майера была поставлена проблема классификации таких систем с точностью до топологической эквивалентности. Класс систем, позднее названных системами Морса — Смейла был введен на замкнутых многообразиях произвольной размерности С. Смейлом, который взял за основу свойства грубых потоков на плоскости, обнаруженных Андроновым и Понтрягиным. К настоящему времени получены весьма исчерпывающие результаты по топологической классификации потоков и каскадов Морса — Смейла на многообразиях размерности, не превосходящей трех. Изложение этих результатов для дискретных динамических систем на многообразиях размерности два и три содержится в книге В. З. Гринеса и О. В. Починки, изданной в 2011 году издательством «РХД». В последние 20 лет достигнут существенный прогресс в изучении систем Морса — Смейла на многообразиях размерности четыре и выше, индуцированный рядом замечательных фактов многомерной топологии. Изложению полученных в этом направлении результатов посвящена эта книга.

Введение
Перечень условных обозначений

Часть 1. Начальные сведения о динамических системах Морса -Смейла на многообразиях
Глава 1. Базовые понятия качественной теории динамических систем

Глава 2. Основные свойства систем Морса -Смейла
2.1. Гиперболичность. Локальная топологическая классификация в окрестности гиперболических неподвижных точек
2.2. Асимптотические и топологические свойства инвариантных многообразий систем Морса -Смейла

Часть 2. О структуре фазового пространства систем Морса-Смейла
Глава 3. О связи топологии несущего многообразия градиентноподобного потока с его неблуждающим множеством
3.1. Энергетическая функция и топология вложения сепаратрис
3.2. Разложение Хегора
3.3. Разложение несущего многообразия в связную сумму

Глава 4. О топологии несущего многообразия каскадов Морса — Смейла

Часть 3. Топологическая классификация градиентно- подобных потоков без гетероклинических пересечений
Глава 5. Потоки на сфере Sn и связной сумме многообразий Sn−1 x S1, n _ 3
5.1. Краткая история вопроса
5.2. Схема потока
5.3. Энергетическая функция как топологический инвариант
5.4. Фазовая диаграмма потоков на сфере
5.5. Двухцветный граф
5.6. Реализация классов топологической сопряженности

Глава 6. Потоки на комплексной проективной плоскости
6.1. Потоки с тремя состояниями равновесия
6.2. Топология вложения сепаратрис потока ft ∈ G2(CP2)
6.3. Двухцветный граф потока ft ∈ G2(CP2)
6.4. Реализация потоков из G2(CP2)
6.5. Пример потока с заузленными двумерными сепаратрисами

Часть 4. О топологической классификации каскадов Морса -Смейла без гетероклинических пересечений
Глава 7. Схема диффеоморфизма
7.1. Канонические многообразия, связанные с седловыми периодическими точками
7.2. Схема диффеоморфизма f ∈ Φ(Sn) как полный топологический инвариант

Глава 8. Двухцветный граф диффеоморфизма как полный топологический инвариант
8.1. Формулировка результатов
8.2. Топологическая структура схемы каскада
8.3. Взаимосвязь между графом и схемой каскада
8.4. Реализация диффеоморфизмов из класса Φ(Sn)

Часть 5. О включении каскадов Морса -Смейла в топологические потоки
Глава 9. Условия Палиса
9.1. Включение в поток диффеоморфизмов окружности
9.2. Включение в поток диффеоморфизмов поверхностей

Глава 10. Включение в поток диффеоморфизмов Морса -Смейла трехмерных многообразий
10.1. Эффекты размерности 3
10.2. Необходимые и достаточные условия включения в поток
10.3. Связь условия тривиальности схемы и условий Палиса
10.4. Диффеоморфизмы с различными типами вложения сепаратрис

Глава 11. Достаточные условия включения в поток каскадов на Sn, n _ 4

Часть 6. Топологические основания результатов, полученных в книге
Глава 12. Дифференциальная топология
12.1. Гладкие многообразия и гладкие отображения
12.2. Примеры гладких и топологических
12.3. Вложения, погружения, иммерсии. Гладкие подмногообразия
12.4. Касательное пространство. Риманова метрика
12.5. Трансверсальность и общее положение
12.6. Векторные поля на многообразиях
12.7. Функции Морса и градиентные векторные поля

Глава 13. Элементы теории узлов. Хирургия вдоль узлов
13.1. Узлы на трехмерной сфере
13.2. Хирургия Дэна<
13.3. Узлы в пространстве четырех и более измерений

Глава 14. Вложения сфер в Sn и Rn
14.1. Теоремы Жордана и Шенфлиса
14.2. Изотопии отображений сфер и теорема о кольце
14.3. Продолжение локальных гомеоморфизмов

Глава 15. Элементы алгебраической топологии
15.1. Свободные и разрывные действия групп
15.2. Гомотопические группы, гомотопические эквивалентности и кобордизмы
15.3. Гомологии связных сумм многообразий, гомеоморфных Sn−1 x S1

Глава 16. Необходимые сведения из теории графов

Литература
Предметный указатель