В книге изложена современная теория классических задач Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки мер. Рассмотрены различные постановки и модификации задачи Канторовича об оптимальных планах, в том числе нелинейные задачи с функциями стоимости, зависящими от планов.
Представлены важнейшие результаты об оптимальных отображениях Монжа и связанных с ними уравнениях Монжа -Ампера. Рассмотрены связи задач оптимальной транспортировки с функциональными и геометрическими неравенствами. Обсуждаются топологические и геометрические свойства пространств мер, метрики типа Канторовича, градиентные потоки в пространствах мер. Даны приложения к геометрии многообразий. В книгу включены необходимые сведения из теории меры на топологических пространствах. Приведена обширная библиография.
Книга рассчитана на широкий круг исследователей и научных работников в теоретических и прикладных областях математики и математической экономики.
Предисловие
Глава 1. Дискретные транспортные задачи
1.1. Линейное программирование и полиэдры
1.2. Теорема двойственности и принцип минимакса
1.3. Циклическая монотонность и теорема Рокафеллара
1.4. Циклическая согласованность
1.5. Дополнения, комментарии и задачи
Приложения линейного программирования (34). Выпуклая геометрия: начальные сведения (37). Задачи (39).
Глава 2. Основы теории меры
2.1. Мера и интеграл Лебега
2.2. Меры на метрических и топологических пространствах
2.3. Слабая сходимость мер
2.4. Слабая компактность
2.5. Условные меры
2.6. Метрики Канторовича, Прохорова и Форте -Мурье
2.7. Метрика Канторовича порядка p
2.8. Дополнения, комментарии и задачи
Проекции измеримых множеств и измеримый выбор (84). Полунепрерывные функции (86). Совершенные меры (90). Условные меры, зависящие от параметра (91). Тройки Громова (99). Расстояние Хаусдорфа между планами (100). Задачи (102).
Глава 3. Задача Канторовича
3.1. Задачи Канторовича: общие постановки
3.2. Существование оптимальных планов
3.3. Толщина множеств
3.4. Двойственность Канторовича
3.5. Циклическая монотонность: общий случай
3.6. Решения двойственной задачи
3.7. Единственность решений и бистохастические меры
3.8. Задача Канторовича с ограничениями
3.9. Мартингальная транспортная задача
3.10. Дополнения, комментарии и задачи
Условия двойственности (180). Оптимальная транспортировка с ограничениями на плотности планов (186). Нелинейные задачи Канторовича и задачи с барицентрами (188). Слабое расстояние Канторовича (204). Задачи Канторовича с параметром (208). Мультистохастическая транспортная задача (227). Специальные функции стоимости (230). Меры с заданными проекциями (232).Частичная оптимальная транспортировка (235). Задача Бекмана и транспортная плотность (235). Комментарии (236). Задачи (242).
Глава 4. Задача Монжа
4.1. Оптимальные отображения
4.2. Связи с задачей Канторовича
4.3. Несовпадение решений задач Монжа и Канторовича
4.4. Условия точного равенства решений
4.5. Уравнение Монжа — Ампера
4.6. Дополнения, комментарии и задачи
Преобразования Мозера (278). Транспортировки гауссовских мер (278). Задачи (279).
Глава 5. Функциональные неравенства
5.1. Панорама неравенств
5.2. Операторные полугруппы
5.3. Изопериметрические неравенства и неравенство Брунна — Минковского
5.4. Интегральные тождества и априорные оценки
5.5. Сжимающие отображения
5.6. Неравенства Соболева и их обобщения
5.7. Транспортные неравенства
5.8. Неравенства концентрации и большие уклонения
5.9. Оценки устойчивости
5.10. Дополнения, комментарии и задачи
Иерархия неравенств (360). Неравенство Бляшке — Сантало и транспортные неравенства (361). Неравенство Шеннона (367). Функция стоимости |x−y| и метод локализации (370). Открытые проблемы выпуклого асимптотического анализа и неравенства для распределений с симметриями (374). Интерполяционные неравенства Соболева — Канторовича (378). Неравенства Браскампа -Либа и обратные к ним (384). Другие неравенства, связанные с метрикой Канторовича (386). Задачи (389).
Глава 6. Геодезические в пространствах мер и градиентные потоки
6.1. Градиентные потоки в гильбертовом пространстве
6.2. Градиентные потоки в метрическом пространстве
6.3. Абсолютно непрерывные кривые в пространстве мер
6.4. Градиентные потоки в пространстве мер
6.5. Кривые максимального наклона и градиентные потоки
6.6. Принцип суперпозиции, потоки и геодезические
6.7. Анализ на метрических пространствах
6.8. Исчисление Отто
6.9. Поле скоростей геодезической в пространстве мер
6.10. Дифференцирование функций на пространстве мер
6.11. Геодезические барицентры
6.12. Дополнения, комментарии и задачи
Риманов объем на P2 (496). Игры среднего поля, нагруженный оптимальный транспорт, транспортные сети (497). Несбалансированный оптимальный транспорт (500). Задачи (501).
Глава 7. Геометрические приложения
7.1. Сведения из дифференциальной геометрии
7.2. Уравнение Монжа — Ампера и задача Минковского
7.3. Задачи Монжа и Канторовича на многообразии
7.4. Формула Бохнера и теоремы сравнения
7.5. CD(K,N)-пространства и геодезическая выпуклость
7.6. Слабые CD(K,N)-пространства
7.7. Гессиановы метрики и уравнение Кэлера — Эйнштейна
7.8. Геометрические потоки: потоки гауссовой кривизны и параболические уравнения
7.9. Дополнения, комментарии и задачи
Транспортные сети (562). Формула Рейлли (563). Изопериметрические неравенства на многообразиях (565). Регулярность решения для общей функции стоимости (567). Задачи (570).
Глава 8. Бесконечномерные задачи
8.1. Гауссовские меры
8.2. Транспортировка с нормой Камерона -Мартина
8.3. Формула замены переменных
8.4. Дополнения, комментарии и задачи
Треугольные отображения (587). Оптимальные отображения для взаимно сингулярных мер и эргодичность (589). Статистические средние и ЦПТ (591). Задача Шр¨едингера (593). Численные методы и приложения (593). Экономические приложения (593). Задачи (600).
Список литературы
Предметный указатель
© 2001—2024 НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»