Математика в общей физике

Аннотация

В книге представлен материал математики, используемой в общей физике (от тригонометрии до векторного анализа), а также дополнительный материал, включающий в себя разные темы: от анализа моделей в физике до численного моделирования. Применение теории вероятности дано на примере распределения Максвелла, исследования радиоактивного распада; также рассмотрено броуновское движение как пример случайного процесса в физике. Дано описанию теории ошибок измерений, а также общее представление о методе наименьших квадратов.

Для учащихся старших классов, желающих глубже изучить физику и математику, а также для студентов младших курсов вузов, преподавателей математики и физики, которые могут использовать материал книги на своих занятиях.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Часть I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ФИЗИКЕ
Определение тригонометрических функций. Единичная окружность. Периодичность тригонометрических функций. Радианная мера угла. Формулы приведения. Графики тригонометрических функций. Дополнительный материал по тригонометрии. Задачи.Тригононометрические функции малых углов. Первый замечательный предел и расчет мгнвенного ускорения при равномерном вращении по окружности. Математический и физический маятник. Тригонометрия в физике.
Дополнение. Метод вспомогательного угла в тригонометрических в уравнениях

Часть II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В ФИЗИКЕ
Глава 1. Непростая история мнимых чисел
Числа вокруг нас. Числовая ось. За гранью реальности-мнимые числа. История мнимых чисел. Мнимые числа-полноправные члены семейства чисел.
Глава 2. Представления комплексных чисел и алгебраические операции с ними
Представление мнимых и комплексных чисел. Абсцисса и ордината комплексного числа. Комплексная плоскость. Сопряженные комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Вращения комплексных чисел. Алгебраические операции с комплексными числами.
Глава 3. Показательная форма записи комплексного числа и ее использование
Запись комплексного числа в показательной форме. Формула Эйлера. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формула Муавра. Операции с векторами. Скалярное и векторное произведение векторов в комплексной плоскости. Сила Кориолиса.
Приложение к главе 3. «Необыкновенная формула доктора Эйлера»
Глава 4. Векторы в физике
Операции с векторами: примеры. Теорема косинусов. Пример применения теоремы косинусов в физике: эффект Комптона. Скалярное и векторное произведение векторов в комплексной плоскости. Сила Кориолиса.
Глава 5. Комплексные числа в описании колебательных процессов
Общие представления о колебательных и волновых процессах. Свободные и вынужденные колебания. Гармонические колебания. Амплитуда, круговая частота и фаза гармонического колебания. Комплексная форма представления гармонических колебаний. Векторная диаграмма.
Глава 6. Комплексные числа в электричестве
Переменный ток. Параметры переменного тока. Применение комплексных чисел для описания переменного тока. Метод комплексных амплитуд. Закон Ома в комплексной форме. Элементы электрической цепи и их векторные диаграммы. Комплексная мощность в цепи переменного тока. Комплексные числа и резонанс в электрических цепях. Об аналогии между механическими и электромагнитными колебаниями. Трехфазный ток на комплексной плоскости
Глава 7. Волновые процессы в комплексной плоскости
Механические волны. Уравнение бегущей волны. Стоячие волны. Разложение в ряд Фурье. Использование рядов Фурье.
Глава 8. Свет и комплексные числа
Световой поток и его взаимодействие со средой. Закон Снелла. Примеры задач. Закон Снелла в геофизике. Геометрия в оптике: применение в астрономии и астрофизике Комплексная диэлектрическая проницаемость. Показатель преломления-комплексная величина. Интерференция. Интерференционная картина на комплексной плоскости.
Глава 9. Атомная физика и мнимые числа
Волны де Бройля. Уравнение Шредингера. Движение свободной частицы. Действительная и мнимая части волновой функции. Необходимость комплексных чисел в квантовой механике
Глава 10. Как мнимые числа нашли свое место в теории относительности
Проблемы времени в физике. Время в СТО. Понятие интервала в теории относительности. Стрела времени. Мнимое время Стивена Хокинга.
Приложение 1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Приложение 2. Затухающие колебания
Приложение 3. О преобразовании Фурье
Приложение 4. Основные элементарные функции комплексной переменной. Дифференцирование комплексной переменной

Часть III. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ В ФИЗИКЕ
Глава 1. Описание механического движения
Матеральная точка в физике. Система отсчета. Векторы в физике. Кинематические характеристики. Траектория движения. Скорость и ускорение как производные по времени.
Глава 2 Линейная функция в физике
Глава 3. Квадратичная функция в физике
Общий вид квадратичной функции. Парабола как баллистическая кривая. Заряженные частицы в электрическом поле. Гипербола: график обратной пропорциональной зависимости. Кубическая функция и ее применение в физике. Эллипс в физике и астрономии. Окружность. Вращательное движение: конический маятник, волчок, движение заряда в магнитном поле, вращение тела вокруг Земли. Космические скорости. О параметрическом задании кривых второго порядка. Циклоида. Конические сечения.

ЧАСТЬ IV. ОБЪЕМНЫЕ ФИГУРЫ: СФЕРА, ЦИЛИНДР И КОНУС В ФИЗИКЕ
Сфера- удобная модель для изучения различных явлений в физике и астрономии. Сфера в электричестве: сферический конденсатор. Гравитационный коллапс сферического тела. Небесная сфера. Конус трения. Конус Маха. Световой конус. Цилиндр в физике. Спирали в физике.
Глава 1. Сфера в физике
Глава 2. Прямой круговой конус
Глава 3. Цилиндр в физике
Глава 4. Спирали (спиралевидное движение) в физике
Определение центра тяжести тел. Центр тяжести однородных тел, имеющих центр симметрии. Способы определения координат центра тяжести тела. Центр тяжести неоднородных тел.
Дополнение. Определение центра тяжести

ЧАСТЬ V. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ В ФИЗИКЕ
Примеры использования производной в физике. Решение задач на экстремум с помощью неравенства Коши. Приближенное вычисление производной на дискретной сетке. Дифференциал в физике. Приближенное вычисление функций. Определенный интеграл и его применение в физике. Оценка определенного интеграла. Двойной интеграл в физике. Интеграл Эйлера-Пуассона.

ЧАСТЬ VI. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА В ФИЗИКЕ
Поля в физике. Скалярное поле и его характеристики. Градиент скалярного поля. Градиент в уравнениях гидродинамики. Векторное поле. Силовые линии. Поток вектороного поля. Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса. Закон Гаусса для гравитации. Ротор векторного поля. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Дивергенция.

ЧАСТЬ VII. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Математические (теоретические) модели в физике
1. Модели в механике
Материальная точка как физическая модель. Математический маятник. Абсолютно твердое и абсолютно упругое тела. Физическая модель упругих волн
2. Модели в термодинамике
Идеальный газ. Цикл Карно. Абсолютно черное тело. «Ультрафиолетовая катастрофа». Закон смещения Вина. Трансцендентные уравнения в физике
3. Модели в атомной физике.
Модель Резерфорда. Модели Томсона и Нагаоки. Атом Бора
4. Модели в ядерной физике
Капельная модель. Цепные реакции. Числовые последовательности в физике. Множественное рождение частиц в космических лучах
5. Модели в космологии
6. Численное моделирование
Метод Монте-Карло. Матрицы. Метод Крамера решения линейных алгебраических уравнений. О точности вычислений при решении физических задач. Алгоритм и решение задач по физике. Об обратных задачах физики.
7. Метод гидроаналогии

ДОПОЛНЕНИЕ 2. Теория вероятности в физике
ДОПОЛНЕНИЕ 3. Логарифмы в физике
ДОПОЛНЕНИЕ 4. Бесконечность в физике
ДОПОЛНЕНИЕ 5. Математические и физические константы: числа, на которых держится мир
ДОПОЛНЕНИЕ 6. О симметрии в физике
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ИСТОЧНИКИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ