Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Аннотация

В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике. 
Первое издание вышло в 1980 г. и давно стало библиографической редкостью. В новое издание вошла работа В.В. Козлова, посвященная исследованию уравнений Дуффинга.

Содержание

Некоторые используемые обозначения
От редакции
Предисловие 

Глава I. Несуществование аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым
1. Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов 
2. Пример из динамики 
3. Несуществование частных аналитических интегралов 
4. Приложение к динамике. Вынужденные колебания математического маятника 
Исторический очерк 

Глава II. Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо
1. Переменные действие-угол 
2. Числа вращения и их свойства 
3. Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо 
4. Разложение возмущающей функции 
Исторический очерк 

Глава III. Неинтегрируемость задачи о вращении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
1. Структура векового множества 
2. Задача о несуществовании нового аналитического интеграла 
3. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в специальных канонических переменных 
4. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в переменных Эйлера-Пуассона 
Исторический очерк 

Глава IV. Динамические эффекты, препятствующие интегрируемости уравнений движения несимметричного тела 
1. Характеристические показатели. Теорема Пуанкаре о периодических решениях 
2. Возмущение равномерных движений 
3. Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо 
4. Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости 
5. Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо 
6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса-Аппельрота 
Исторический очерк 

Глава V. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела
1. Теорема о несуществовании однозначных интегралов 
2. Доказательство теоремы 1 
3. Приложение к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 
4. Доказательство теоремы 2 
5. Приложение к вынужденным колебаниям математического маятника 
Исторический очерк 

Глава VI. Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела
1. Аналог теоремы Хопфа-Ринова 
2. Аналог леммы Гаусса
3. Либрации в системах со многими степенями свободы 
4. Приложение к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле 
Исторический очерк 

Глава VII. Вопросы качественного анализа движения волчка Горячева-Чаплыгина 
1. Разделение переменных в случае Горячева-Чаплыгина 
2. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Горячева-Чаплыгина 
3. Задача о собственном вращении 
4. Задача о движении линии узлов 
5. Теорема о временных средних 
Исторический очерк 

Глава VIII. Финальные свойства интегралов от квазипериодических функций 
1. Уточнение одной теоремы Боля 
2. Теорема о возвращении 
3. Теорема о нулях 
4. Динамические системы с интегральным инвариантом на торе 
5. Приложение к задаче о движении линии узлов в случае Горячева-Чаплыгина 
Исторический очерк 

Глава IX. Вопросы качественного анализа движения волчка Ковалевской 
1. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской 
2. Собственное вращение 
3. Теорема о поведении циклических переменных в интегрируемых системах
4. Поведение линии узлов. Качественная картина вращения волчка Ковалевской 
5. Приложение к исследованию обобщенных лиувиллевых систем 
Исторический очерк 

Литература 
Приложение. О периодических решениях уравнений Дуффинга