Аннотация
В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике.
Первое издание вышло в 1980 г. и давно стало библиографической редкостью. В новое издание вошла работа В.В. Козлова, посвященная исследованию уравнений Дуффинга.
Содержание
Некоторые используемые обозначения
От редакции
Предисловие
Глава I. Несуществование аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым
1. Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов
2. Пример из динамики
3. Несуществование частных аналитических интегралов
4. Приложение к динамике. Вынужденные колебания математического маятника
Исторический очерк
Глава II. Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо
1. Переменные действие-угол
2. Числа вращения и их свойства
3. Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо
4. Разложение возмущающей функции
Исторический очерк
Глава III. Неинтегрируемость задачи о вращении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
1. Структура векового множества
2. Задача о несуществовании нового аналитического интеграла
3. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в специальных канонических переменных
4. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в переменных Эйлера-Пуассона
Исторический очерк
Глава IV. Динамические эффекты, препятствующие интегрируемости уравнений движения несимметричного тела
1. Характеристические показатели. Теорема Пуанкаре о периодических решениях
2. Возмущение равномерных движений
3. Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо
4. Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости
5. Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо
6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса-Аппельрота
Исторический очерк
Глава V. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела
1. Теорема о несуществовании однозначных интегралов
2. Доказательство теоремы 1
3. Приложение к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
4. Доказательство теоремы 2
5. Приложение к вынужденным колебаниям математического маятника
Исторический очерк
Глава VI. Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела
1. Аналог теоремы Хопфа-Ринова
2. Аналог леммы Гаусса
3. Либрации в системах со многими степенями свободы
4. Приложение к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле
Исторический очерк
Глава VII. Вопросы качественного анализа движения волчка Горячева-Чаплыгина
1. Разделение переменных в случае Горячева-Чаплыгина
2. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Горячева-Чаплыгина
3. Задача о собственном вращении
4. Задача о движении линии узлов
5. Теорема о временных средних
Исторический очерк
Глава VIII. Финальные свойства интегралов от квазипериодических функций
1. Уточнение одной теоремы Боля
2. Теорема о возвращении
3. Теорема о нулях
4. Динамические системы с интегральным инвариантом на торе
5. Приложение к задаче о движении линии узлов в случае Горячева-Чаплыгина
Исторический очерк
Глава IX. Вопросы качественного анализа движения волчка Ковалевской
1. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской
2. Собственное вращение
3. Теорема о поведении циклических переменных в интегрируемых системах
4. Поведение линии узлов. Качественная картина вращения волчка Ковалевской
5. Приложение к исследованию обобщенных лиувиллевых систем
Исторический очерк
Литература
Приложение. О периодических решениях уравнений Дуффинга
Скидка
