Монография посвящена общим вопросам регуляризуемости и свойствам алгоритмов регуляризации некорректных задач, формулируемых в виде проблем приближенного нахождения значений разрывных отображений метрических пространств и в виде операторных уравнений в парах банаховых пространств. Излагаются критерии регуляризуемости некорректных задач общего вида и задач, представленных линейными операторными уравнениями в банаховых пространствах. Описываются базовые схемы конструирования алгоритмов регуляризации и принципы выбора параметра регуляризации. Подробно исследуются оценки точности регуляризующих алгоритмов. Описываются классы некорректных задач, допускающих регуляризацию с априорными и апостериорными оценками точности различного вида. Особое внимание уделяется некорректным экстремальным задачам и оценкам точности алгоритмов регуляризации этих задач.
Книга адресована широкому кругу специалистов в области некорректных задач, а также студентам и аспирантам математических специальностей вузов.
Введение
ГЛАВА I. Абстрактные некорректные задачи и регуляризующие алгоритмы
§ 1. Вспомогательные сведения
§ 2. Некорректные задачи как операторные уравнения и задачи нахождения значений разрывных операторов. Регуляризующие алгоритмы
§ 3. Общие теоремы о регуляризуемости
§ 4. Условия регуляризуемости линейных операторных уравнений
§ 5. Регуляризуемость линейных интегральных уравнений. Пример
§ 6. Базовые конструкции регуляризующих алгоритмов
ГЛАВА II. Оценки точности и оптимальность регуляризующих алгоритмов
§ 7. Оценки точности приближения при решении некорректных задач
§ 8. Сравнение регуляризующих алгоритмов по точности. Оптимальные алгоритмы
§ 9. Можно ли решать некорректные задачи с точностью, превышающей погрешность входных данных?
§ 10. Апостериорные оценки точности алгоритмов регуляризации
§ 11. Условно корректные и обобщенно корректные задачи
§ 12. Условно корректные выпуклые экстремальные задачи
§ 13. Оценки точности регуляризующих алгоритмов в контексте прямых и обратных теорем теории приближений
§ 14. Прямые и обратные теоремы для методов аппроксимации решений нерегулярных линейных уравнений
§ 15. Прямые и обратные теоремы для методов решения некорректных задач Коши
§ 16. Прямые и обратные теоремы для итеративно регуляризованных методов решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений и для схемы Тихонова
ГЛАВА III. Регуляризация экстремальных задач. Выпуклые структуры в теории некорректных задач
§ 17. Некорректные экстремальные задачи и регуляризующие алгоритмы
§ 18. Равномерные оценки точности при решении экстремальных задач
§ 19. Регуляризация экстремальных задач без использования информации о погрешности в данных
§ 20. Какие экстремальные задачи можно решать с точностью, пропорциональной погрешности в данных?
§ 21. О выпуклости функционала невязки условно корректных задач
§ 22. Кластеризация стационарных точек функционала невязки условно корректных задач
§ 23. Кластеризация решений нелинейных уравнений и стационарных точек функционала невязки при отсутствии условной корректности
§ 24. О выпуклости замыкания образа оператора Урысона
§ 25. Устойчивая обобщенная разрешимость интегральных уравнений на конусе
Заключительные замечания
Литература
Предметный указатель
© 2001—2026 НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»