Гауссовские меры

Излагается современная теория гауссовских мер. Подробно и систематически обсуждаются гауссовские меры на конечномерных и бесконечномерных пространствах, линейно-топологические свойства гауссовских распределений, в том числе различные свойства выпуклости и их применения. Значительное внимание уделено нелинейным преобразованиям гауссовских мер и анализу на гауссовских пространствах. Представлены как функционально-аналитические, так и вероятностные аспекты теории. Рассмотрены приложения в стохастическом анализе и теории случайных процессов. Приведено более 150 задач (от учебных упражнений для начинающих до более трудных задач для квалифицированного читателя) с решениями или указаниями. Даны подробные историко-библиографические комментарии.

Для научных работников разных специальностей, студентов, аспирантов и преподавателей, соприкасающихся в своей исследовательской или прикладной деятельности с гауссовскими распределениями.

Предисловие
Глава 1. Конечномерные гауссовские распределения
1.1. Гауссовские меры на прямой
1.2. Многомерные гауссовские распределения
1.3. Многочлены Чебыш¨ева — Эрмита
1.4. Полугруппа Орнштейна -Уленбека в IRn
1.5. Классы Соболева
1.6. Гиперсжимаемость
1.7. Несколько полезных оценок
1.8. Неравенства выпуклости
1.9. Характеризации гауссовских мер
1.10. Дополнения и задачи
Другие описания гауссовских мер (61). Спектр оператора Орнштейна -Уленбека (64). Интегро-дифференциальные неравенства, связанные с гауссовскими мерами (68). Задачи (73)

Глава 2. Бесконечномерные гауссовские распределения
2.1. Цилиндрические множества
2.2. Основные определения
2.3. Примеры
2.4. Пространство Камерона -Мартина
2.5. Законы 0–1
2.6. Сепарабельность и осцилляции
2.7. Эквивалентность и сингулярность
2.8. Измеримые полунормы
2.9. Полугруппа Орнштейна -Уленбека
2.10. Измеримые линейные функционалы
2.11. Стохастические интегралы
2.12. Дополнения и задачи
Гауссовские меры на общих линейных пространствах (148). Интеграл Хеллингера и продакт-меры (150). Осцилляционные константы (152). Аналитические продолжения(153). Задачи (153).

Глава 3. Радоновские гауссовские меры
3.1. Меры Радона
3.2. Основные свойства радоновских гауссовских мер
3.3. Гауссовские ковариации
3.4. Структура радоновских гауссовских мер
3.5. Гауссовские ряды
3.6. Носители гауссовских мер
3.7. Измеримые линейные операторы
3.8. Слабая сходимость гауссовских мер
3.9. Абстрактные винеровские пространства
3.10. Условные меры и условные средние
3.11. Дополнения и задачи
Измеримые линейные функции (228). Гауссовские меры на Lp (235). Носители и τ -аддитивность гауссовских мер (238). Измеримые линейные продолженияи вторичное квантование (242). Тензорные произведения(243). Автоморфизмы пространства гауссовских мер (243). Задачи (250).

Глава 4. Выпуклость гауссовских мер
4.1. Гауссовская симметризация
4.2. Неравенство Эрхарда
4.3. Изопериметрические неравенства
4.4. Выпуклые функции
4.5. H-липшицевы функции
4.6. Корреляционные неравенства
4.7. Функции Онзагера -Маклупа
4.8. Вероятности малых шаров
4.9. Большие уклонения
4.10. Дополнения и задачи
Гауссовские симметризации функций (315). Неравенства для полос и параллелепипедов (316). Оценки и асимптотики мер малых шаров (318). Обоснование корреляционного неравенства (322). B-неравенство (329). Задачи (330).

Глава 5. Соболевские классы по гауссовским мерам
5.1. Интегрирование по частям
5.2. Соболевские классы Wp,r и Dp,n
5.3. Соболевские классы Hp,r
5.4. Свойства классов Соболева и примеры
5.5. Логарифмическое неравенство Соболева
5.6. Мультипликаторы и неравенства Мейера
5.7. Равносильность различных определений
5.8. Дивергенция векторного поля
5.9. Гауссовские емкости
5.10. Измеримые многочлены
5.11. Дифференцируемость H-липшицевых функций
5.12. Дополнения и задачи
Обобщенные неравенства Пуанкаре и логарифмические соболевские (417). Компактность в классах Соболева (419). Дробные классы Соболева и классы Никольского — Бесова по гауссовским мерам (421). Классы BV и классы Соболева на областях (427). Максимальная функция (432). Измеримые полиномиальные отображения(440). Измеримые многочлены второго порядка (448). Пренебрежимые множества (460). Меры конечной энергии (461). Лапласиан ΔH (463). Задачи (464).

Глава 6. Нелинейные преобразования гауссовских мер
6.1. Вспомогательные результаты
6.2. Измеримые линейные автоморфизмы
6.3. Линейные преобразования
6.4. Плотности Радона — Никодима
6.5. Примеры эквивалентных мер и линейных преобразований
6.6. Нелинейные преобразования
6.7. Примеры нелинейных преобразований
6.8. Конечномерные отображения
6.9. Метод Маллявэна
6.10. Поверхностные меры
6.11. Дополненияи задачи
Преобразования специального вида (532). Оптимальные транспортировки гауссовских мер (538). Распределения многочленов (539). Распределения однородных и выпуклых функций (545). Задачи (551).

Глава 7. Приложения
7.1. Траектории гауссовских процессов
7.2. Бесконечномерные винеровские процессы
7.3. Логарифмические градиенты
7.4. Сферически симметричные меры
7.5. Бесконечномерные диффузии
7.6. Дополнения и задачи
Гауссовские сравнения(583). Логарифмические градиенты и линейные стохастические уравнения(584). Предельные теоремы (586). Задачи (591).

Дополнение. Вспомогательные сведения
A.1. Локально выпуклые пространства
A.2. Линейные операторы
A.3. Меры и измеримость
A.4. Многочлены на линейных пространствах
A.5. Выпуклые меры и локализация

Библиографические комментарии
Литература
Предметный указатель