Аналитическая механика излагается как часть курса теоретической физики, призванная познакомить студентов с набором методов и понятий, которые окажутся чрезвычайно полезными в теории поля, квантовой механике и статистической физике. Рассматривается движение частиц в центральном поле и рассеяние частиц на основе уравнений Ньютона, вводятся и подробно изучаются уравнения Лагранжа для различных систем, линейные и нелинейные колебания, гамильтонов формализм, движение твёрдого тела. К каждой теме приведены задачи, апробированные на семинарах. В данном издании
добавлено около десяти новых разделов, которые иллюстрируют теоретический материал. Для преподавателей эти разделы могут служить основой для проведения спецкурса, а любознательные студенты, желающие ознакомиться с различными приложениями методов аналитической механики, могут использовать эти разделы для чтения и самостоятельных занятий.
Для студентов, аспирантов и преподавателей — физиков и математиков.
На обложке представлены портреты Исаака Ньютона (вверху слева), Жозефа Луи Лагранжа (вверху справа), Уильяма Роуэна Гамильтона (внизу слева) и Амалии Эмми Нётер (внизу справа).
Предисловие
ГЛАВА I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ. РАССЕЯНИЕ
§ 1. Одномерное движение в потенциальном поле. Период колебаний
Задачи
§ 2. Движение в центральном поле
2.1. Радиальное движение
2.2. Траектории движения
Задача
§ 3. Задача Кеплера
3.1. Траектории
3.2. Эллиптическая траектория. Законы Кеплера
3.3. Вектор Лапласа — дополнительный интеграл движения в задаче Кеплера
Задача
§ 4. Прецессия перигелия под действием возмущения δU®
Задача
§ 5. Движение в центральном поле
§ 6. Изотропный осциллятор
§ 7. Задача двух тел
§ 8. Сечение рассеяния. Форму ла Резерфорда
8.1. Постановка задачи рассеяния
8.2. Рассеяние под малыми углами
8.3. Формула Резерфорда
Задачи
§ 9. Теорема о вириале
Задача
ГЛАВА II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
§ 10.Уравнения Лагранжа
10.1. Уравнения Лагранжа для нерелятивистской частицы в потенциальном поле — ковариантная запись уравнений Ньютона
10.2. Обобщённые координаты и импульсы
Задача
§ 11. Принцип наименьшего действия
11.1. Принцип Гамильтона. Ковариантность уравнений Лагранжа относительно замены координат
11.2. Преобразование функции Лагранжа при преобразовании координат и времени
§ 12. Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле. Неоднозначность выбора функции Лагранжа
§ 13. Классический эффект Зеемана
13.1. Заряженная частица в кулоновском и магнитном полях
13.2. Сильное магнитное поле. Дрейф
§ 14. Функция Лагранжа в релятивистском случае
§ 15. Функция Лагранжа для систем с идеальными голономными связями
Задачи
§ 16. Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходе
16.1. Циклические координаты
16.2. Энергия в лагранжевом подходе
16.3. Энергия в лагранжевом подходе и сумма кинетической и потенциальной энергии
16.4. Неоднозначность определения энергии
§ 17.Симметрия и интегралы движения. Теорема Нётер
17.1. Примеры
17.2. Обобщение
17.3. Теорема Нётер
§ 18. Фундаментальные законы сохранения для замкнутой системы частиц
§ 19.Преобразования Галилея
§ 20.Неинерциальные системы отсчёта
20.1. Система отсчёта, движущаяся поступательно
20.2. Вращающаяся система отсчёта
20.3. Теорема Лармора
§ 21.Отклонение свободно падающего тела от вертикали
§ 22. Эффективная функция Лагранжа для электромеханических систем
ГЛАВА III. КОЛЕБАНИЯ
§ 23.Линейные колебания
23.1. Одна степень свободы
23.2. Колебания систем со многими степенями свободы
23.3. Плоский двойной маятник
§ 24. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот
24.1. Ортогональность нормальных колебаний
24.2. Случай вырождения частот. Нормальные координаты
24.3. Колебания слабо связанных систем. Биения
Задачи
§ 25.Вынужденные колебания. Резонансы
Задача
§ 26.Колебания при наличии силы трения
§ 27.Колебания при наличии гироскопических сил
27.1. Гироскопические силы
27.2. Малые колебания заряженной частицы в магнитном поле
27.3. Осциллятор в однородном магнитном поле
27.4. Антиосциллятор в однородном магнитном поле
27.5. Ловушка Пеннинга
27.6. Частица внутри гладкого вращающегося параболоида в поле тяжести
27.7. Точки Лагранжа в Солнечной системе
§ 28.Колебания симметричных систем
Задачи
§ 29.Колебания молекул
Задачи
§ 30.Колебания линейных цепочек
30.1. Уравнения движения и граничные условия
30.2. Бегущие волны
30.3. Стоячие волны и спектр
Задачи
§ 31. Цепочка Борна. Акустические и оптические колебания линейных цепочек
§ 32. Вынужденные колебания линейных цепочек под действием гармонической силы
§ 33.Нелинейные колебания. Ангармонические поправки
33.1. Одномерные нелинейные колебания
33.2. Многомерные нелинейные колебания. Комбинационные частоты
§ 34.Нелинейные резонансы
§ 35. Классическая модель резонанса Ферми в молекуле CO2
§ 36.Параметрический резонанс
§ 37.Движение в быстро осциллирующем поле
Задача
ГЛАВА IV. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
§ 38.Уравнения Гамильтона
38.1. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона
38.2. Интегралы движения в гамильтоновом подходе
Задачи
§ 39. Вариационный принцип для уравнений Гамильтона
§ 40. Скобки Пуассона
40.1. Определение и основные свойства
40.2. Тождество Якоби и теорема Пуассона
Задачи
§ 41.Динамическая симметрия задачи Кеплера
§ 42. Классическая модель ЭПР и ЯМР
42.1. Уравнения движения вектора M(t)
42.2. Движение вектора M(t) во вращающемся магнитном поле
§ 43.Канонические преобразования
43.1. Определение канонического преобразования. Производящая функция
43.2. Другие производящие функции
Задачи
§ 44. Канонические преобразования и скобки Пуассона
44.1. Инвариантность скобок Пуассона относительно канонических преобразований
44.2. Необходимый и достаточный признак того, что преобразование является каноническим
§ 45.Примерыканонических преобразований
Задача
§ 46. Действие вдоль истинной траектории как функция начальных и конечных координат и времени
46.1. Свойства S(q, t)
46.2. Движение системы как каноническое преобразование
46.3. Доказательство теоремы Нётер
§ 47.ТеоремаЛиувилля
47.1. Инвариантность фазового объёма относительно канонических преобразований
47.2. Фокусирующая линза
Задача
§ 48.Уравнение
48.1. Уравнение
48.2. Движение релятивистской частицы в поле U® = −αr
48.3.
Задача
§ 49.Переменные
49.1. Системы с одной степенью свободы
49.2. Системы со многими степенями свободы
49.3. Функция Гамильтона, зависящая явно от времени
§ 50.Адиабатические инварианты
50.1. Постановка задачи и ответ
50.2. Адиабатический инвариант для частицы в ящике
50.3. Сохранение адиабатического инварианта
Задачи § 51. Движение системы со многими степенями свободы. Динамический хаос
ГЛАВА V. ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
§ 52.Кинематика твёрдого тела
§ 53. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия твёрдого тела
53.1. Импульс твёрдого тела
53.2. Момент импульса твёрдого тела
53.3. Кинетическая энергия твёрдого тела
53.4. Тензор моментов инерции твёрдого тела
Задачи
§ 54.Уравнения движения твёрдого тела. Примеры
54.1. Уравнения движения твёрдого тела. Уравнения Эйлера
54.2. Свободное движение шарового и симметрического волчков
54.3. Быстрый волчок в поле тяжести
Задачи
§ 55. Влияние приливных сил на продолжительность суток и месяца
§ 56.Углы Эйлера
ДОПОЛНЕНИЯ
A. Элементы вариационного исчисления
B. Системы со связями
B.1. Системы с идеальными голономными связями
B.2. Силы реакции связей
B.3. Неопределенные множители Лагранжа. Идеальные неголономные связи
C. Уравнение Хилла, уравнение Матьё и параметрический резонанс
C.1. Общие свойства уравнения Хилла
C.2. Уравнение Матьё
C.3. Параметрический резонанс на основной гармонике γ = 2ω0
C.4. Параметрический резонанс при γ = ω0
D. Обобщение канонических преобразований
D.1. Время и энергия как канонические переменные
D.2. Канонические преобразования, затрагивающие время и энергию
E. Дифференциальные формы и канонические преобразования
E.1. Дифференциальные формы
E.2. Новое определение канонических преобразований
E.3. Сохранение фазового объёма при канонических преобразованиях
E.4. Инвариантность скобок Пуассона относительно канонических преобразований
Литература
Предметный указатель
© 2001—2024 НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»